Окремий випадок паралельного проектування, при якому напрям проектування перпендикулярно площині проекцій, називається прямокутним або ортогональним проектуванням. Прямокутної (ортогональної) проекцією точки називають підставу перпендикуляра, проведеного з точки на площину проекцій. Прямокутна проекція точок А і В показана на рис. 1.5.
Поряд з властивостями паралельних (косокутних) проекцій ортогональное проектування має наступну властивість:
- ортогональні проекції взаємно перпендикулярних прямих, одна з яких паралельна площині проекцій, а інша не перпендикулярна їй, взаємно перпендикулярні.
Для визначення положення точки в просторі за її паралельним проекція необхідно мати дві паралельні площини. отримані при двох напрямках проектування.
Оскільки через точку можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну площині, то, очевидно, при ортогональному проектуванні для отримання двох проекцій однієї точки необхідно мати дві які паралельні площині проекцій (рис. 1.6).
Ортогональное проектування має низку переваг перед центральним і паралельним проектуванням. До них в першу чергу слід віднести:
1. Простоту графічних побудов для визначення ортогональних проекцій точок.
2. Можливість при певних умовах зберегти на проекціях форму і розміри проектованої фігури.
Зазначені переваги забезпечили широке застосування ортогонального проектування в техніці, зокрема, для складання машинобудівних креслень.
У машинобудуванні, для того щоб мати можливість за кресленням судити про форму і розміри зображуваних предметів, при складанні креслень, як правило, користуються не двома, а кількома площинами проекцій.
Положення точки в просторі, а, отже, і будь-якої геометричної фігури може бути визначено, якщо буде задана будь-яка координатна система віднесення.
Площині проекції ділять простір на вісім частин - октантів. Їх умовно нумерують римськими цифрами (рис. 1.7).
Найбільш зручною для фіксування положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях є, декартова система координат, що складається з трьох взаємно перпендикулярних площин проекцій. У зв'язку з тим, що нарисна геометрія покликана передавати результати своїх теоретичних досліджень для практичного використання, ортогональное проектування доцільно розглядати також в системі трьох площин проекцій.
Для зручності проектування в якості трьох площин проекцій вибирають три взаємно перпендикулярні площини (рис.1.8). Одну з них прийнято розташовувати горизонтально - її називають горизонтальною площиною проекцій, іншу - вертикально, паралельно площині креслення, її називають фронтальною площиною проекцій і третю, перпендикулярну двох наявних -її називають профільної площиною проекцій. Ці площини проекцій перетинаються по лініях, званими осями проекцій.
У нас прийнята права система розташування площин проекцій. При цьому позитивними напрямками осей вважають: для осі X (перетин горизонтальній і фронтальній площин проекцій) - вліво від початку координат, для осі Y (перетин горизонтальної та профільної площин проекцій) - в сторону спостерігача від фронтальної площини проекцій, для осі Z (перетин фронтальної і профільної площин проекцій) - вгору від горизонтальної площини проекцій, протилежні напрямок осей вважають негативними.
Проекцією точки є підстава перпендикуляра, опущеного з точки на відповідну площину проекцій. Горизонтальною проекцією точки називають прямокутну проекцію точки на горизонтальній площині проекцій, фронтальною проекцією - відповідно на фронтальній площині проекцій і профільної - на профільній площині проекцій.
Користуватися цим просторовим макетом для зображення ортогональних проекцій геометричних фігур незручно через його громіздкість, а також через те, що на окремих (горизонтальної та профільної) відбувається спотворення форми і розмірів проектованої фігури. Тому замість зображення на кресленні просторового макета користуються комплексним кресленням (епюр Монжа) складеним з трьох пов'язаних між собою ортогональних проекцій геометричної фігури.
Перетворення просторового макета в епюр здійснюється шляхом поєднання горизонтальної та профільної площин проекцій з фронтальним площиною проекції (рис. 1.7).
Так як площині не мають кордонів, в суміщеному положенні (на епюрі) кордону площин не показують, немає необхідності залишати написи, що вказують положення площин проекцій (рис. 1.10).
Перейшовши до епюру втратилася просторова наочність. Епюр дає більше - точність і удобоізмереімость зображень, при простоті побудов. Однак, щоб представити просторову картину потрібна робота уяви.
Точка, як математичне поняття, не має розмірів. Очевидно, якщо об'єкт проектування є нульмерние об'єктом, то говорити про його проектуванні безглуздо.
В геометрії під точкою доцільно приймати фізичний об'єкт, що має лінійні вимірювання. Умовно за точку можна взяти кульку з нескінченно малим радіусом. При такому трактуванні поняття точки можна говорити про її проекціях.
При побудові ортогональних проекцій точки слід керуватися першим інваріантним властивістю ортогонального проектування: ортогональна проекція точки є точка.
Положення точки в просторі визначається трьома координатами: X, Y, Z, що показують величини відстаней, на які точка віддалена від площин проекцій. Щоб визначити ці відстані, досить визначити точки зустрічі цих прямих з площинами проекцій і виміряти соответству-
ющие величини, які вкажуть відповідно значення абсциси X. ординати Y і аппликати Z точки (рис. 1.10).
Проекцією точки є підстава перпендикуляра, опущеного з точки на відповідну площину проекцій. Горизонтальною проекцією точки а називають прямокутну проекцію точки на горизонтальній площині проекцій, фронтальною проекцією а / - відповідно на фронтальній площині проекцій і профільної а // - на профільній площині проекцій.
Прямі Аа, АA / і АA // називаються проектується прямими. При цьому пряму Аа, проецирующую точку А на горизонтальну площину проекцій, називають горизонтально проецирующей прямий, АA / і АA // - відповідно: фронтально і профільно-проецірущімі прямими.
Дві проектують прямі, що проходять через точку А визначають площину, яку прийнято називати проецирующей.
При перетворенні просторового макета, фронтальна проекція точки А - а / залишається на місці, як належить площині, яка не змінює свого положення при даному перетворенні. Горизонтальна проекція - а разом з горизонтальною площиною проекції повернеться у напрямку руху годинникової стрілки і розташується на одному перпендикуляр до осі Х з фронтальною проекцією. Профільна проекція - a // обертатиметься разом із профільною площиною і до кінця перетворення займе положення, вказане на малюнку 1.10. При цьому - a // належатиме перпендикуляру до осі Z. проведеним з точки а / і буде віддалена від осі Z на таку ж відстань, на яке горизонтальна проекція а віддалена від осі Х. Тому зв'язок між горизонтально і профільної проекціями точки може бути встановлена за допомогою двох ортогональних відрізків ааy і АY a // і сопрягающей їх дуги окружності з центром в точці перетину осей (О - початок координат). Зазначеною зв'язком користуються для знаходження відсутньої проекції (при двох заданих). Положення профільної (горизонтальної) проекції по заданих горизонтальної (профільної) і фронтальній проекціях може бути знайдено за допомогою прямої, проведеної під кутом 45 0 з початку координат до осі Y (цю бісектрису називають прямою k - постійної Монжа). Перший із зазначених способів кращий, як більш точний.
З цього випливає:
1. Точка в просторі видалена:
від горизонтальної площини H на величину заданої координати Z,
від фронтальної площини V на величину заданої координати Y,
від профільної площини W на величину координати .X.
2. Дві проекції будь-якої точки належать одному перпендикуляру (однієї лінії зв'язку):
горизонтальна і фронтальна - перпендикуляр до осі X,
горизонтальна і профільна - перпендикуляр до осі Y,
фронтальна і профільна - перпендикуляр до осі Z.
3. Положення точки в просторі цілком визначається положенням її двох ортогональних проекцій. З цього випливає - за двома будь-які передбачені ортогональним проекція точки завжди можна побудувати відсутню її третю проекцію.
Якщо точка має три певні координати, то таку точку називають точкою загального положення. Якщо у точки одна або дві координати мають нульове значення, то таку точку називають точкою приватного положення.
На малюнку 1.11 дан просторовий креслення точок приватного положення, на малюнку 1.12 - комплексних креслення (епюр) цих точок. Точка А належить фронтальній площині проекцій, точка В - горизонтальній площині проекцій, точка С - профільної площини проекцій і точка D - осі абсцис (Х).