Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Основним завданням фізичного експерименту є вимірювання чисельних значень спостережуваних фізичних величин. Виміром називається операція порівняння величини досліджуваного об'єкта з величиною одиничного об'єкта. Так, наприклад, за одиницю довжини прийнятий метр, і в результаті вимірювання довжини деякого відрізка визначається, скільки метрів міститься в цьому відрізку.
Прийнято розрізняти прямі і непрямі вимірювання. При прямому вимірі проводиться безпосереднє порівняння величини вимірюваного об'єкта з величиною одиничного об'єкта. В результаті шукана величина знаходиться прямо за показаннями вимірювального приладу, наприклад, сила струму - по відхиленню стрілки амперметра, вага - по розтягуванню пружинних ваг і т.д. Однак набагато частіше вимірювання проводять побічно, наприклад, площа прямокутника визначають по вимірюванню довжин його сторін, електричний опір - за вимірюваннями сили струму і напруги і т.д. У всіх цих випадках шукане значення вимірюваної величини виходить шляхом відповідних розрахунків.
Результат будь-якого вимірювання завжди містить деяку похибку. Тому в задачу вимірів входить не тільки перебування самої величини, але також і оцінка допущеної при вимірюванні похибки. Нагадаємо, що абсолютною похибкою наближеного числа називається різниця між цим числом і його точним значенням, причому ні точне значення, ні абсолютна похибка принципово невідомі і підлягають оцінці за результатами вимірювань. Відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки наближеного числа до самого цього числа. Якщо оцінка похибки результату фізичного вимірювання не зроблена, то можна вважати, що вимірювана величина взагалі невідома, оскільки похибка може, взагалі кажучи, бути того ж порядку, що і сама вимірювана величина або навіть більше. У цьому полягає відмінність фізичних вимірювань від побутових або технічних, в яких в результаті практичного досвіду заздалегідь відомо, що обраний вимірювальний інструмент забезпечує прийнятну точність, а вплив випадкових факторів на результат вимірювань дуже малий в порівнянні з ціною поділки застосовуваного приладу.
Похибки фізичних вимірювань прийнято поділяти на систематичні, випадкові і грубі. Систематичні похибки викликаються факторами, що діють однаковим чином при багаторазовому повторенні одних і тих же вимірювань. Систематичні похибки приховані в неточності самого інструменту і неврахованих чинниках при розробці методу вимірювань. Зазвичай величина систематичної похибки приладу вказується в його технічному паспорті. Що ж стосується методу вимірювань, то тут все залежить від кваліфікації експериментатора. Хоча сумарна систематична похибка в усіх вимірах, що проводяться в рамках даного експерименту, буде приводити завжди або до збільшення, або до зменшення правильного результату, знак цієї похибки невідомий. Тому на цю похибку можна внести поправку, а доводиться приписувати цю похибка остаточного результату вимірювань.
Випадкові похибки зобов'язані своїм походженням ряду причин, дія яких неоднаково в кожному досвіді і не може бути враховано. Вони мають різні значення навіть для вимірювань, виконаних однаковим чином, тобто носять випадковий характер. Припустимо, що зроблено n повторних вимірів однієї і тієї ж величини. Якщо вони виконані одним і тим же методом, в однакових умовах і з однаковою ступенем ретельності, то такі вимірювання називаються рівноточними.
Нехай мінімальний інтервал значень вимірюваної величини, через який ведуться відліки (ціна поділки приладу), буде h. а середнє арифметичне всіх результатів вимірювань нехай буде
Якщо спрямувати число вимірювань до нескінченності, а інтервал h - до нуля, то гістограма переходить в межі в безперервну криву, яка є кривою розподілу похибок. При деяких умовах, які зазвичай виконуються при проведенні вимірювань, ця крива являє собою графік функції Гаусса, що має такий вигляд:
Певна згідно (7) величина # 916; x є абсолютною похибкою. Очевидно, що при одному і тому ж значенні # 916; x результат може виявитися досить точним при вимірюванні деякої великої величини, тоді як при вимірюванні малої величини його точність буде недостатньою. Наприклад, нехай є можливість вимірювати лінійні розміри з похибкою # 916; x = 1 мм. Ясно, що це явно перевищує необхідну точність при вимірі, скажімо, розмірів кімнати, але вимір виявиться занадто грубим при визначенні товщини монети. Таким чином, стає зрозумілою необхідність введення відносної похибки, яка визначається як
і виражається, зазвичай, у відсотках. Як видно, вираз (8) дозволяє оцінити величину похибки по відношенню до самої вимірюваної величиною. Очевидно, що в тих випадках, коли вимірювана величина являє собою умовне число, наприклад, астрономічний час в даний момент (але не інтервал часу між двома подіями), просторова координата (але не відстань між двома точками) і т.п. визначення відносної похибки сенсу не має. Дійсно, точність визначення поточного часу за одними і тими ж годинах однакова і о 12 годині, і о 1 годині.
Розглянемо тепер випадок, коли при повторенні вимірювань в одних і тих же умовах стійко виходять однакові значення x = x0. В цьому випадку систематична похибка настільки перевищує випадкову, що вплив випадкової похибки повністю маскується. Істинне значення x аж ніяк не дорівнює x0. Воно, як і раніше, залишається невідомим, і для нього можна записати x = x0 ± # 916; x. причому похибка # 916; x визначається в даному випадку які відтворюють від досвіду до досвіду помилками, пов'язаними з неточністю вимірювальних приладів або методу вимірювань. таку похибку # 916; x. як зазначалося, називають систематичною. Для більш точного визначення фізичної величини x в даному випадку необхідно змінити постановку самого досвіду: взяти прилад більш високого класу точності, поліпшити методику вимірювань і т.п.
Клас точності приладу (приведена похибка) - це виражена у відсотках відносна похибка, яку дає цей прилад при вимірюванні їм найбільшого значення вимірюваної величини, зазначеної на шкалі приладу. Тоді абсолютна похибка виявляється однаковою по всій шкалі приладу. Наприклад, нехай є амперметр класу 1,5 зі шкалою 20 А. При вимірі їм будь-якого значення струму абсолютна похибка буде дорівнює 0,015 · 20 = 0,3 А. Неважко бачити, що при вимірах в кінці шкали відносна похибка виявляється менше, наближаючись до наведеної . Клас точності зазвичай вказується на шкалі приладу відповідною цифрою. Якщо на шкалі такого позначення немає, то даний прилад позакласний, і його зведена похибка більше 4%.
Розглянемо, яким чином оцінити випадкову похибку побічно вимірюваної величини y. яка є функцією деякого числа m безпосередньо вимірюваних величин xi. тобто
Саме середнє значення
де позначає так звану приватну похідну.
Приватна похідна - це така похідна, яка обчислюється від функції f по аргументу xi. до того ж як всі інші аргументи вважаються постійними.
Відносна похибка для побічно вимірюваної величини y визначається як
Формулу (10) застосовують в тих випадках, коли в залежності (9) вимірювані величини xi входять, в основному, у вигляді доданків, а формула (11) виявляється особливо зручною тоді, коли права частина (9) представляє собою твір величин xi. З огляду на просту зв'язок між абсолютною і відносною похибками # 948; = # 916; y /
Оскільки функція y є сумою двох доданків, знаходимо частинні похідні
і підставляємо їх у формулу (10):
причому абсолютні похибки # 916; x1 і # 916; x2 повинні бути попередньо визначені, як зазначено вище, за формулами (4) - (7).
Нехай тепер функціональна залежність побічно вимірюваної величини y від безпосередньо вимірюваних величин xi має наступний вигляд:
У цьому випадку для визначення похибки побічно вимірюваної величини y скористаємося формулою (11). Для цього спочатку знайдемо логарифм, а потім - приватні похідні:
Підставляючи в (11), знайдемо
Неважко бачити, що попереднє логарифмирование істотно спростило вид приватних похідних. Вимірюється величина y. взагалі кажучи, має якусь розмірність. Брати логарифм від розмірної величини звичайно ж не можна. Щоб усунути некоректність, досить розділити y на постійну, рівну одиниці даної розмірності (якщо y - довжина, то розділимо на 1 м). Після логарифмування вийде додаткове доданок, яке все одно зникне при взятті приватних похідних (похідна від постійної дорівнює нулю), тому наявність такого доданка зазвичай мається на увазі.
При обробці результатів вимірювань пропонується наступний порядок операцій.
При прямих (безпосередніх) вимірах
1. Обчислюється середнє з n вимірювань:
2. Визначається середньоквадратична похибка середнього арифметичного:
3. Здається довірча ймовірність a і визначається коефіцієнт Стьюдента ta, n для заданого a і числа проведених вимірювань n по табл. 1.
4. Знаходиться полушіріна довірчого інтервалу (абсолютна похибка результату вимірювань):