2
3 Цілі і завдання: Хто насправді відкрив теорему? Чому вона довгий час називалася «теоремою нареченої»? Чому «піфагорові штани в усі сторони рівні»? Чи існують інші докази теореми? Як використовується теорема Піфагора в рішенні задач; в мистецтві? Історичні завдання на теорему Піфагора
4 Теорема Піфагора у древніх єгиптян Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² = 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е. за часів царя Аменемхета (згідно папірусуБерлінского музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.
5 З історії теореми Піфагора Стародавній Китай Математична книга Чу-пей: "Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4".
6 Теорема в Вавилонії «Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку. "
7 В Індії Геометрія у індусів, як і у єгиптян і вавилонян, була тісно пов'язана з культом. Досить імовірно, що теорема про квадраті гіпотенузи була відома в Індії вже близько 18 століття до н. е.
8 «Піфагороі штани всі сторони рівні»
9 Протягом двох тисячоліть найбільш поширеним доказом теореми Піфагора було придумане Евклидом. Воно поміщено в його знаменитій книзі «Начала». Евклід опускав висоту СН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутника, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах. Креслення, застосовуваний при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом довгого часу він вважався одним із символів математичної науки.
10 Малюнки учнів середніх віків
11 ПРОСТЕЙШИЕ ДОКАЗИ Найпростіше доведення теореми виходить в найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Справді, досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для трикутника ABC. квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідних трикутника, а квадрати, побудовані на катетах, - по два
12 Доказ 9 століття н.е. На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями один поруч з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е. індуси називали "стільцем нареченої".
13 Доказ Перігаля. У підручниках нерідко зустрічається розкладання вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на більшій катеті, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузи. Відповідність частин фігури добре видно з креслення
14 Застосування Теореми Піфагора Діагональ d квадрата зі стороною а можна розглядати як гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника з катетом а. Таким чином, d 2 = 2a 2, звідки: d = А2. Діагональ d прямокутника зі сторонами а і b обчислюється подібно до того, як обчислюється гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами a і b. Ми маємо d² = a² + b²
15 Висота рівностороннього трикутника Висота h рівностороннього трикутника зі стороною а може розглядатися як катет прямокутного трикутника, гіпотенуза якого а, а інший катет a / 2. Таким чином маємо a2 = h2 + (a / 2) 2, або h2 = (3/4) a2. Звідси випливає h = 1 / 2а 3.
16 На малюнку зображений куб, всередині якого проведена діагональ d, що є одночасно гипотенузой прямокутного трикутника, заштрихованого на малюнку. Катетами трикутника служать ребро куба і діагональ квадрата, що лежить в основі (як вказувалося раніше, довжина діагоналі дорівнює а 2. Звідси маємо d 2 = a 2 + 2a 2, d 2 = 3a 2, d = a3.
17 Піраміда Досліджуємо піраміду, наприклад, таку, в основі якої лежить квадрат і висота якої проходить через центр цього квадрата (правильну піраміду). Нехай сторона квадрата - а, і висота піраміди - h. Знайдемо s (довжину бічних ребер піраміди). Ребра будуть гіпотенузи прямокутного трикутників, у яких один з катетів - висота h, а інший - половина діагоналі квадрата. Внаслідок цього маємо: s = h 2 + 1 / 2a 2.Затем можемо обчислити висоту h1 бічних граней.
18 Готичні і Романські стилі
19 Завдання індійського математика XII століття Бхаскару "На березі річки ріс тополя самотній. Раптом вітру порив його стовбур надламаний. Бідний тополя впала. І кут прямий З за водою річки його стовбур становив. Запам'ятай тепер, що в цьому місці річка О четвертій лише фута була широка верхівка схилилася біля краю річки. Залишилося три фути всього від стовбура, Прошу тебе, скоро тепер мені скажи: у тополі як велика висота? "
20 Завдання з китайської "Математики в дев'яти книгах" "Є водойму зі стороною в 1 чжан = 10 чи. У центрі його росте очерет, який виступає над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берега, то він якраз торкнеться його. Питається : наскільки глибоко води і яка довжина очерету? "
21 Завдання з підручника "Арифметика" Леонтія Магницького «Станеться нікому людині до стіни сходи прібраті, стіни ж тоя висота є 117 стоп. І знайдете сходи довгота 125 стоп. І ведати хоче, колико стоп сіючи сходи нижній кінець від стіни отстояті имать »
23 Навчальне дослідження по темі "Теорема Піфагора" Завдання. Для кріплення щогли потрібно встановити 4 троса. Один кінець кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли?