Через кілька років з батьками я поїхала на море познайомилася з дівчинкою, яка захоплювалася судоку. Мені теж захотілося навчитися, і вона пояснила, як це робити. Це заняття мені дуже сподобалося, і воно стало моїм так званим хобі.
Після того як мені запропонували брати участь в науково-практичній конференції, я відразу вибрала тему «Магічні квадрати». У цій роботу я включила історичний матеріал, різновиди, правила створення гру-загадку.
агіческій, або чарівний квадрат-це квадратна таблиця, заповнена n числами, таким чином, що сума чисел у кожному рядку, в кожному стовпці і на обох діагоналях виявляється однаковою. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n.
Магічні квадрати існують для всіх порядків, за винятком n = 2, хоча випадок n = 1 тривіальний - квадрат складається з одного числа.
Сума чисел в кожному рядку, стовпці і на діагоналях. Називається магічною константою. М. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою.
У цій таблиці є чудова властивість. Складемо числа першого шпальти: 4 + 3 + 8 = 15.тот же результат вийде при додаванні чисел другого, а так само третього стовпців. Він же виходить при додаванні чисел будь-який з трьох рядків. Мало цього, той же відповідь 15 виходить, якщо скласти числа кожної з двох діагоналей: 4 + 5 + 6 = 8 + 5 + 2 = 15.
Напевно, цю легенду китайці придумали, коли знайшли розташування чисел від 1 до 9 з настільки чудовою властивістю. Малюнок вони назвали «ло-шу» і стали вважати його магічним символом і вживати при заклинаннях. Тому зараз будь-яку квадратну таблицю, складену з чисел і що володіє такою властивістю, називають магічним квадратом.
КВАДРАТ, ЗНАЙДЕНИЙ в Кхаджурахо (ІНДІЯ).
Найраніший унікальний магічний квадрат виявлено в написі ХI століття в індійському місті Кхаджурахо.
Це перший магічний квадрат, що відноситься до різновиду так званих «диявольських» квадратів.
Магічний квадрат Ян Хуея (Китай)
У XIII столітті математик Ян Хуей зайнявся проблемою методів побудови магічних квадратів. Його дослідження були, потім продовжені іншими китайськими математиками. Ян Хуей розглядав магічні квадрати не тільки третього, але і високих порядків.
Деякі з його квадратів були досить складні, проте він завжди давав правила для їх побудови. Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку.
Квадрат Альбрехта Дюрера
Магічний квадрат 4х4, зображений на гравюрі А. Дюрера «Меланхолія I», вважається найбільш раннім в європейському мистецтві. Два середніх числа в нижньому ряду вказують дату створення картини (1514)
Сума чисел на будь-який горизонталі, вертикалі і діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2х2, в центральному квадраті (10 + 11 + 6 + 7), в квадраті з кутових клітин (16 + 13 + 4 + 1), в квадратах, побудованих «ходом коня» (2 + 8 + 9 + 15 і 3 + 5 + 12 + 14), прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3 + 2 + 15 + 14 і 5 + 8 + 9 + 12) .Більшість додаткових симетрій пов'язано з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.
Квадрати Генрі Е. Дьюдени і Аллана У. Джонсона-мл.
Якщо в квадратну матрицю n х n заноситься не строго натуральний ряд чисел, то даний магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічних квадрата, заповнені в основному простими числами. Перший (рис.3) має порядок n = 3 (квадрат Дьюдени); другий (рис.4) (розміром 4х4) - квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку двадцятого століття.
Диявольський магічний квадрат
Диявольський магічний квадрат - магічний квадрат, в якій також з магічною константою збігається сума чисел по ламаним діагоналях (діагоналі, які утворюються при згортанні квадрата в тор) в обох напрямках.
Такі квадрати називають ще пандіагональних.
Існує 48 диявольських магічних квадратів 4х4 з точністю до поворотів і відображень. Якщо взяти до уваги ще й їх додаткову симетрію - торичні паралельні переноси, то залишиться тільки 3 істотно різних квадрата:
Однак було доведено, що (рис.7) найпростішими перестановками чисел виходять перші два квадрата (рис.5, 6). Тобто третій варіант це базовий диявольський квадрат, з якого різними перетвореннями можна побудувати всі інші.
Пандіагональних квадрати існують для непарного порядку n> 3, для будь-якого порядку подвійний парності n = 4k (k = 1,2,3 ...) і не існують для порядку одинарної парності n = 4k + 2 (k = 1,2,3 ...) .
Пандіагональних квадрати четвертого порядку мають ряд додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Скоєних пандіагональних квадратів непарного порядку не існує. Серед пандіагональних квадратів парності вище 4 є досконалі.
Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торических паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів. Один з них показаний нижче.
ПРАВИЛА ПОБУДОВИ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ
Знайти всі магічні квадрати порядку n вдається тільки для, n = 3,4 тому представляють великий інтерес приватні процедури побудови магічних квадратів при n> 4.Проще всього конструкція для магічного квадрата непарного порядку. Потрібно в клітку з координатами (х, y) поставити число.
Ще простіше побудова виконати наступним чином, береться матриця n x n.Внутрі її будується ступінчастий ромб. У ньому осередку зліва вгору по діагоналях заповнюються послідовним рядом чисел. Визначається значення центрального осередку С.
Тоді в кутах магічного квадрата значення будуть такими: верхня права клітинка С-1; нижня ліва комірка З + 1; нижня права комірка С-n; верхня ліва комірка З + n.
СКЛАДАННЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ.
Яким же чином складають магічні квадрати?
Створення магічного квадрата "Ло-Шу».
Завдання. Квадрат 3х3, скласти з цифр від 1 до 9, так, що б суми чисел в кожних рядках, стовпцях і по діагоналях були рівні.
Рішення: Вирішимо задачу, не вдаючись до перебору однієї за одною всіх перестановок 9 цифр в 9 клітинах (число таких розстановок одно 362880). Будемо міркувати так. Сума всіх чисел від 1 до 9: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Значить, в кожному рядку і в кожному стовпці сума чисел повинна дорівнювати: 45: 3 = 15. Але якщо підсумувати всі числа по-друге стовпці і рядку і в обох діагоналях, то кожне число увійде один раз, за винятком центрального, яке увійде чотири рази. Значить, якщо позначити центральне число через х, то повинно виконуватися рівність 4 * 15 = 3х + 3 * 15. Звідси х = 5, тобто в центрі таблиці повинно стояти число 5.
Тепер зауважимо, що число 9 не може стояти в кутку таблиці, скажімо в лівому верхньому кутку. Адже тоді в протилежному кутку стояло б число 1, а на перші рядок і стовпець залишалася б одна комбінація - числа 4 і 2. Значить, 9 варто в середині якихось крайніх рядків або стовпців (у нас в середині першого рядка). Двома іншими числами цього рядка є 4і2, а третім числом середнього шпальти має бути 15-9-5 = 1. В одному рядку з 1 повинні стояти числа 8 і 6. Тим самим, магічний квадрат майже заповнений і легко знайти місце для решти чисел. В результаті виходить квадрат «Ло-Шу».
Звичайно, для 9 можна вибрати інші три місця, а після вибору місця для цього числа залишаються дві можливості для розташування чисел 4 і 2. Всього виходить 4 * 2 = 8 різних магічних квадратів з трьох рядків і трьох стовпців (або, як кажуть математики, квадратів третього порядку). Всі ці квадрати можна отримати на «Ло-Шу» або повертаючи квадрат на 180,90 або 270. Ще можливий варіант дзеркального відображення.
Створення магічного квадрата
Завдання: Створити магічний квадрат 4х4, з цифр від 1 до 16, так, що б суми чисел в кожних рядках, стовпцях і по діагоналях були рівні.
Рішення. Сума всіх чисел від 1 до 16: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136. Значить, в кожному рядку і в кожному стовпці сума чисел повинна дорівнювати: 136: 4 = 34. Але якщо підсумувати всі числа, по-друге, в стовпці і рядку і в обох діагоналях, то кожне число увійде один раз, за винятком центральних, які увійдуть двічі. Цими числами будуть 10,11,6,7. Після чого доставимо інші числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в інші осередки
До
У перекладі з Японського «су» означає «цифра», а «доку» - «стоїть окремо».
Не треба гадати або капати в книгах - тільки логіка і уважність!
Завдання: заповніть порожні клітини цифрами від 1 до 9 так, щоб в будь-якому рядку, кожному стовпці і в кожному з 9 блоків 3х3 цифра не повторювалася.
Подивимося на виділений ряд. У ньому не вистачає тільки двох цифр: 1 і 2.Взглянем на першу порожню клітину праворуч. Чи можемо ми вписати туди 1? Ні. Тому що в цій колонці 1 вже є, а повторюватися ці цифри в колонці не можуть. Значить, в цю клітку ми можемо вписати лише 2. Так і зробимо. Тепер нам залишилося тільки вписати цифру 1 в порожню, останню клітку в цьому ряду, і ряд заповнений.
Щоб було ще цікавіше, можна створити судоку різних рівнів складності:
* -легкий, ** - середній, *** - складний, **** - дуже складний, **** - суперскладний.
Відмінність рівнів полягає в тому, що кількість цифр в блоці збільшується.
Перший - не вистачає 2,3 числа.
Другий - 4, третій - 5,4, четвертий - 6, п'ятий - 6,7.
Чорні клітини в Какуро називаються легендою. Вони розділені похилою рискою і містить одне або два числа. Число в правому верхньому кутку ставиться до прилеглому горизонтальному блоку клітин (А), а в лівому нижньому - до вертикального (Б).
Завдання: вписати в порожні клітинки цифри від 1 до 9так, щоб їх сума в блоці відповідала сумі в легенді. У блоці не можуть стояти дві однакові цифри! Так, число 4 в легенді може стояти тільки 3 1, а не з цифр 2 і 2.
Спочатку перевірте маленькі суми - легко розкласти на цифри. Почнемо з 3.В цьому випадку комбінації можуть бути або «1 + 2», або «2 + 1». Третього природно не дано.
Числа 4 можуть відповідати комбінації «1 + 3» або «3 + 1» (але не 2 + 2). Значить, в першому полі може стояти тільки число 1.Теперь ми можемо вірно заповнити обидва блоки: "1 + 2» і «1 + 3».
Подивимося на 4 в останній легендою. Варіанти тут ті ж: «3 + 1» і «1 + 3». Цифра 3 в горизонтальному блоці вже є, і єдиний можливий варіант вирішення - цифра 1.
А тепер ми можемо заповнити всі інші клітини. Порада: вписуйте в кути клітин можливі комбінації цифр, а в міру заповнення викреслюйте цифри, які не входять.
(ОБЛАСНИЙ ЦЕНТР РОЗВИТКУ ОБДАРОВАНИХ ДІТЕЙ ТА ЮНАЦТВА.
Очний тур конкурсу «Юний знавець математики»
У квадраті, що складається з 9 клітин, розставити числа від 1 до 9 так, щоб сума чисел, що стоять в кожному вертикальному ряду, в кожному горизонтальному ряду, а також на будь-який діагоналі були рівні.
Створюючи свою роботу, я розширила свої знання про поняття магічних квадратів, про правила їх створення, дізналася історію, як вони створюються, дізналася багато нових слів, навчилася працювати з літературою, розгадувати і створювати магічні квадрати.
І Я. Депман; Н.Я.Віленкін «За сторінками підручника математики»
Москва «Просвещение» 1989р.
В.П Трутнєв «Вважай, вирішуй, відгадувати!» Москва «Просвещение» 1970р.
«Ліза» (кросворди, судоку, Какура)
Схожі документи:
методів построеніямагіческіхквадратов різного порядку, самостійне составленіемагіческіхквадратов будь-якого порядку. Результат дослідження: складені квадрати парного.
МАГІЧЕСКІЕКВАДРАТИ І ТАБЛИЦІ Священні таблиці використовувалися у всіх магічних традиціях - або як геометричні побудови. Подібно гематріі, нотарікон і Темур, составленіемагіческіх буквених квадратів - це процес перетворення, в ході.
амулетів і складання заклинань на. розуму в правильно побудованому ритуалі є ідеальний. «Малкут» (царство). 3. Торкнувшись правого плеча, скажіть: «ве-Гевур. його впливу. Магіческійквадрат - см. Камея. Магічне коло - обмежене.
Побудова. Завдання. Розгадати правило. за яким складено кожен ряд. III. магічним »квадратом. - Перевірте, чи всі квадратимагіческіе. 7 2 9 4 9 2 5 0 7 8 6 4 4 5 7 6 5 2 3 10 5 (Так) 8 1 6 (Так) 1. 8 3 (Ні) Відповідь: третій квадрат перестав магічний.
Я крізь магічний кристал Ще. гарантував рівні права чорним і. рукописів, складанні оглядів стану. квадрата. побудованого на гіпотенузі прямокутника, дорівнює сумі площ квадратів. побудованих на його катетах. Візьмемо квадрат.