де. . - позитивні числа.
Досліджуємо форму еліпсоїда. З рівняння (13.3) видно, що координати точок поверхні обмежені:. . .
Еліпсоїд володіє трьома площинами симетрії, трьома осями симетрії і центром симетрії. Ними служать відповідно координатні площині, координатні осі і початок координат. Доводиться це так само, як в реченні 12.1.
Для з'ясування форми еліпсоїда розглянемо його перетину площинами. Знайдемо лінію перетину еліпсоїда з площиною. Так як будь-яка точка площині має нульову третю координату,. то координати точок еліпсоїда на площині задовольняють рівняння
По теоремі 12.2 отримуємо, що лінія перетину є еліпсом з півосями і (рис. 13.3).
Мал. 13. 3 .Сеченіе площиною
Аналогічно, перетин в площині дає еліпс
з півосями і. а перетин площиною - еліпс
з півосями і (рис. 13.4)
Мал. 13. 4 .Сеченія еліпсоїда координатними площинами
Намальований "каркас" з перетинів вже дає уявлення про еліпсоїді. Але щоб з'ясувати, як поводиться поверхню між намальованими кривими, розглянемо перетин еліпсоїда площиною. Ця площина паралельна площині і перетинає вісь в точці. Рівняння цієї лінії
Якщо. то перетині отримаємо лише одну точку або в залежності від знака.
Нехай. Тоді перше рівняння перетворимо до виду
де. . Рівняння (13.5) є рівнянням еліпса, подібного еліпсу, що задається рівнянням (13.4), з коефіцієнтом подібності і півосями і. Ясно, що перетин площиною є таким же еліпсом, розташованим симетрично першому відносно площини. Намалюємо ці перетину (рис. 13.5).
Мал. 13. 5 .Додаткові перетину еліпсоїда
Таким чином, весь еліпсоїд складений з еліпсів, що у площинах, паралельних площині і подібних еліпсу в площині. Малюнок 13.6 дає більш звичне оці зображення еліпсоїда.
Так само, як для еліпса, точки перетину еліпсоїда з координатними осями називаються вершинами еліпсоїда, центр симетрії - центром еліпсоїда. Числа. . називаються півосями. Якщо піввісь попарно різні, то еліпсоїд називається тривісним.
Якщо дві півосі дорівнюють один одному, то еліпсоїд називається еліпсоїдом обертання. Еліпсоїд обертання можна отримати обертанням еліпса навколо однієї з осей. Наприклад, якщо. то все перетину еліпсоїда площинами. . будуть колами. Сам еліпсоїд може бути отриманий з еліпса
лежачого в площині. при обертанні його навколо осі (рис. 13.7).
Мал. 13. 7 .Елліпсоід обертання