- фаза в момент часу t.
Гармонійні коливання характеризуються також інтегральними параметрами:
- середнє значення за напівперіод (середнє значення за період дорівнює нулю) A ср = ∫ 0 T / 2 a (t) dt = ≈ 0. 638 A m;
- діюче значення A = = ≈ 0. 707 A m.
Фізичний сенс діючого значення струму: він дорівнює такому постійному струму, який, проходячи по активному спротиву, виділяє за час T ту ж кількість теплоти, що і гармонійний струм.
Розрахунок ланцюга полегшується, якщо зобразити грамоніческіе величини векторами на комплексній площині.
Відомо, що кожна точка на комплексній площині визначається радіус-вектором цієї точки, тобто вектором, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться в точці, що відповідає заданому комплексному числу.
Дане число можна записати в показовій формі (в полярній системі координат):
де A - модуль, ψ - аргумент (фаза);
(J =, в електротехніці i = не використовується, тому що цією буквою позначається струм).
Застосувавши формулу Ейлера, можна отримати тригонометричну форму запису:
Або алгебраїчну форму (в прямокутних координатах):
Вектор, що обертається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) з кутовою швидкістю ω може бути виражений наступним чином:
де Ȧ m = A m e jψ - комплексна амплітуда, рівна вектору в момент часу t = 0.
Множник e jωt - оператор обертання. Множення комплексної амплітуди Ȧ m на e jωt означає поворот вектора Ȧ m на кут (ωt) в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки).
Записуючи комплексну функцію в тригонометричної формі робимо висновок, що функція A m sin (ωt + ψ) може бути розглянута як уявна частина комплексної функції, взята без множника j. або. що те ж саме, як проекція обертового вектора на уявну вісь.
Комплексне діюче значення відрізняється від комплексної амплітуди в раз:
Якщо гармонійні функції мають одну і ту ж частоту, то відповідні цим функціям вектори обертаються з однаковою швидкістю, тобто кути між ними зберігаються незмінними. На малюнку показані дві синусоїдальні функції, фазовий зсув дорівнює φ = ψ 1 - (- ψ 2) = ψ 1 + ψ 2.
У разі рівного розподілу початкових фаз вектори спрямовані в одну і ту ж сторону (збігаються по фазі).
Діаграма, що зображає сукупність векторів на косплексной площині, які представляють собою гармонійно змінюються функції, називається векторною діаграмою.
Векторне подання гармонійних функцій, частоти яких однакові, полегшує операції додавання і віднімання цих функцій.
Сумою двох функцій Ȧ 1 m і Ȧ 2 m відповідає вектор (Ȧ 1 m + Ȧ 2 m).
Значно спрощуються операції диференціювання і інтегрування функцій, представлених комплексними числами.
Операція диференціювання гармонійної функції замінюється множенням на jω її комплексного зображення.
Для похідною n -го порядку
Операція інтегрування гармонійної функції замінюється розподілом на jω її комплексного зображення.
Зведемо результати параграфа в таблицю.