1. Поняття хвильової функції
Відповідно до гіпотези Луї де Бройля вільному руху будь-якої частинки можна поставити у відповідність плоску хвилю
де - радіус-вектор довільної точки простору; t- час. частота хвилі # 969; і хвильової вектор пов'язані з енергією і імпульсом частинки тими ж співвідношеннями, що і для квантів світла:
де - постійна Планка.
підставляючи # 969; і з (2) в (1), отримуємо вираз для хвилі де Бройля вільної частинки:
З іншого боку, атомізм частки полягає в тому, що вона завжди діє як ціле. Тому частка не може являти собою освіту з хвиль де Бройля.
Квантова механіка виходить із статистичного тлумачення хвиль де Бройля. згідно якому
інтенсивність хвилі де Бройля в будь-якій точці пропорційна ймовірності виявити частинку в цьому місці простору.
Стан квантової системи описується хвильової функцією # 968 ;. яка в загальному випадку є комплексною функцією радіус-вектора і часу t. .
Фізичний смислволновой функції полягає в тому, що
ймовірність знаходження частинки в момент часу в обсязі визначається формулою:
де / в декартовій системі координат /.
Так як знаходження частинки в просторі - подія достовірне, то повинно виконуватися співвідношення
де - обсяг всього простору.
Вираз (5) називається умовою нормування. Якщо інтеграл від сходиться, то хвильова функція завжди може бути нормована відповідним вибором постійного коефіцієнта при # 968 ;.
З умови (5) видно, що нормована функція # 968; визначена з точністю до множника, модуль якого дорівнює одиниці, т. е. з точністю до множника, де # 945; - будь-яка дійсна, константа. Ця неоднозначність не відбивається на фізичних результати, так як математично всі фізичні величини визначаються виразами, що містять твір # 968; на комплексно сполучену функцію # 968; * Наприклад-(4).
Наступним положенням, що лежить в основі квантової механіки, є принцип суперпозиції. який формулюється таким чином:
Якщо квантова система може перебувати в станах, які описуються хвильовими функціями # 968; 1 та # 968; 2. то вона може перебувати і в станах, що описуються довільної лінійної комбінацією цих функцій:
де C 1. С2 - будь-які, що не залежать від часу комплексні числа.
З принципу суперпозиції випливає, що рівняння, що описує зміну хвильової функції в просторі і в часі, має бути лінійно відносно.
2. Оператори фізичних величин
У загальному випадку під оператором розуміється правило, за яким з кожної з розглянутого класу функцій U () зіставляється інша функція - V (). Це правило символічно записується у вигляді множення U () на.
Під може матися на увазі, наприклад, множення на, диференціювання по координатах, добування кореня і т. П.
З усіх можливих операторів для зображення фізичних величин у квантовій механіці використовується лише клас так званих лінійних самосопряженних операторів, так як тільки вони можуть відповідати фізичним величинам.
Оператор. називається лінійним, якщо він має наступну властивість:
де U1, U2 - довільні функції; З 1. С2 - довільні постійні.
Необхідність цього властивості безпосередньо випливає з принципу суперпозиції; застосування оператора не повинно порушувати цей принцип.
Операторназивается самосопряженних. або ермітовим, якщо
де інтеграл береться по всій області можливої зміни.
Значення введення операторів в квантову механіку полягає в тому, що всі зв'язки між фізичними величинами можуть бути виражені на мові операторів.
Основна ідеяпрімененія операторів полягає в тому, що з кожної фізичної величиною / динамічноїзмінної / в квантовій механіці зіставляється зображає її лінійний / щоб виконувався принцип суперпозиції / і самосопряженних / щоб значення були речовинні / оператор.
Зв'язок між операторами і вимірюваними динамічними змінними встановлюється за допомогою виразу для середнього значення величини. описуваної хвильової функцією:
Так як оператор ермітовим, цей вислів може бути записано інакше:
Використовуючи правило (10), запишемо вираз для відхилення від середнього значення в даному стані: і введемо відповідний ермітів оператор:
Тепер можна записати вираз для середнього квадратичного відхилення:
яке, використовуючи самосопряженних оператора приведемо до вигляду
За допомогою цього співвідношення обчислюється середнє квадратичне відхилення фізичної величини в довільному стані.
Щоб знайти такі стани, при яких має певні значення, прирівняємо праву частину виразу (l 4) нулю:
Оскільки під інтегралом стоїть позитивна величина, то з (15) випливає.
Модуль комплексного числа дорівнює нулю, тільки коли саме число дорівнює нулю:
З огляду на визначення оператора (12) і те, що в даному стані має певне значення, остаточно знаходимо, або (16)
Так як - оператор, відповідний фізичної величиною. то (16) являє собою лінійне рівняння для знаходження хвильової функцій стану, в якому ця величина має значення.
У квантовій механіці оператор часто є диференціальним. т. е. містить операцію диференціювання. У цьому випадку (16) - лінійне однорідне диференціальне рівняння.
У загальному випадку таке рівняння має нетривіальне / т. е. відмінне від нуля / рішення тільки при деяких певних значеннях Е, які є параметрами (16). Ці значення параметра називаються власними значеннями оператора. Відповідні їм рішення (16) називаються власними функціями оператора.
Параметриn. нумеруються власні значення і власні функції, називаються квантовими числами.
Сукупність власних значень оператора називається його спектром.
Якщо оператор має дискретні власні значення, такий спектр називається дискретним. У цьому випадку говорять, що величина має квантовані значення.
Якщо власні значення пробігають безперервний ряд значень, такий спектр його значень називається безперервним.
Існують такі стани фізичної системи, які описуються різними власними функціями деякого оператора, але відповідають одному і тому ж власному значенню. Такі стани системи називаються виродженими. а число незалежних власних функцій, що відповідають одному і тому ж значенню оператора, - стислістю виродження.
Отже, ми визначили, що
в стані, описуваному власної функцією оператора. фізична величина має значення, рівне своїм значенням цього оператора.
В цьому і полягає фізична інтерпретація математичного формалізму квантової механіки.
Явний вигляд деяких операторів не релятивістської квантової механіки наведено в таблиці.
3. Властивості власних функцій операторів
Власні функції операторів квантової механіки мають такими загальними властивостями.
1. Якщо оператор має дискретний спектр власних значень, то власні функції цього оператора задовольняють рівняння
Рівняння, комплексно поєднане (18) для квантового числа m.
Множимо (18) і (19) зліва на і відповідно, інтегруємо по всій області простору і віднімаємо з першого друге. В результаті отримуємо
звідси випливає
при n m - умова ортогональності власних функцій, що відповідають різним власним значенням оператора.
Фізичний сенс ортогональности власних функцій полягає в тому, що
при вимірюванні фізичної величини з достовірністю виходить значення в стані і - в стані.
Крім того, відповідно до (15) функції дискретного спектра завжди можуть бути унормовані на одиницю:
Співвідношення (20) і (21) можуть бути об'єднані:
де символ Кронекера визначається наступним чином:
Набір функцій задовольняє умові (22). називається системою ортонормованих функцій, т. е. ортогональних і нормованих.
2. Друге властивість власних функцій операторів полягає в тому, що їх сукупність утворює повну систему функцій. Це означає що
будь-яка функція, певна в тій же області змінних, що і власні функції, може бути представлена у вигляді ряду
де підсумовування виконується за всіма значеннями квантового чіслаn.
Щоб знайти коефіцієнти розкладання, помножимо (24) зліва на і проинтегрируем по всьому простору:
Змінюючи індекси m на n. отримуємо вираз для коефіцієнтів розкладання:
Помножимо (24) на комплексно поєднане вираз
і проинтегрируем по всьому простору:
Співвідношення (27) - критерій того, що система функцій норми-рована на одиницю. Таким чином, відповідно до (4)
ймовірність на-ходіння фізичної величини в стані зі значенням дорівнює квад-Рату модуля коефіцієнта в розкладанні (24), т. е. визначається ін-інтенсивність, з якою власне стан представле-но в стані.
Основне рівняння квантової механіки - рівняння Шредінгера, що визначає зміна хвильової функції, т. Е. Стану системи, в просторі і часі:
де - оператор Гамільтона системи; i - уявна одиниця.
Це рівняння - основне рівняння динаміки в квантової механі-ке, оскільки дозволяє знайти хвильові функції в будь-який момент време-на, якщо відомі вид оператора і початкові умови.
Гамільтоніан / за відсутності магнітного поля / має вигляд (17) в рівняння Шредінгера (28) може бути записано явно:
У разі стаціонарного, т. Е. Що не змінюється в часі, зовн-нього поля гамильтониан не залежить від часу. В цьому випадку в (29) змінні можуть бути розділені:
Підставляючи рішення у вигляді (30) в (29) і позначаючи постійну поділу E. знаходимо
Звідси випливають два рівняння для T і
Перше рівняння вирішується відразу:. a друге є рівнянням для власних функцій гамильтониана. Таким чином, якщо система має дискретний спектр енергії, то рі-ня (30) має вигляд
т. е. гармонічно залежить від часу з частотою.
де - власне значення гамільтоніана.
Хвильові функції, які є рішеннями рівняння (32), відповідають станам системи, в яких енергія має визначений-ні значення. Такі стани системи називаються стаціонарними. а (32) тому називається стаціонарним рівнянням Шредінгера.
Стаціонарні рівні енергії нумеруються, як правило, в порядку зростання їх абсолютного значення.
Стаціонар-ве стан з найменшим з усіх можливих значень енергії називаючи-ється основним.
Хвильові функції, які є рішеннями рівняння Шредінгера (29), повинні мати наступні властивості:
1. Хвильові функції повинні бути однозначні, безперервні і кінцеві у всій області простору. Ці вимоги повинні також виконуватися, коли потенціал U має поверхні розриву. Необхідність однозначний-ності і кінцівки хвильової функції досить очевидна з її физичес-кого сенсу / см. (4) і (5) /: ймовірність місцезнаходження частинки долж-на бути величиною кінцевої і однозначною. Крім того, так як хвильова функція є рішенням диференціального рівняння виду (29), то вона повинна бути нерозривна, а також мати однозначну, безперервну і кінцеву першу похідну.
2. Якщо існують області простору, де. то в них всюди. Частка, очевидно, не може перебувати всередині цих об-ластей. Безперервність вимагає, щоб на кордоні цієї області. Похідні від на кордоні можуть мати розрив.