Дана найпростіша функція тригонометрії у = Sin (х), вона диференційована в кожній своїй точці з усієї області визначення. Необхідно довести, що похідна синуса будь-якого аргументу дорівнює косинусу того ж кута, тобто у '= Cos (х).
Доказ грунтується на визначенні похідної функції
Задамо х (довільне) в деякій малій околиці δх конкретної точки х0. Покажемо значення функції в ній і в точці х, щоб знайти приріст заданої функції. Якщо δх - приріст аргументу, то новий аргумент - це х0 + δx = х, значення даної функції при заданому значенні аргументу у (х) дорівнює Sin (х0 + δx), значення функції в конкретній точці у (х0) теж відомо.
Тепер маємо δу = Sin (х0 + δх) -Sin (х0) - отримане приріст функції.
За формулою синуса суми двох неоднакових кутів будемо перетворювати різницю δу.
δу = Sin (х0) · Cos (δх) + Cos (х0) · Sin (δx) мінус Sin (х0) = (Cos (δx) -1) · Sin (х0) + Cos (х0) · Sin (δх) .
Виконали перестановку доданків, згрупували перші з третім Sin (х0), винесли загальний множник - синус - за дужки. Отримали в вираженні різниця Cos (δх) -1. Залишилося змінити знак перед дужкою і в дужках. Знаючи, чому дорівнює 1-Cos (δх), зробимо заміну і отримаємо спрощене вираз δу, яке потім розділимо на δх.
δу / δх матиме вигляд: Cos (х0) · Sin (δх) / δх-2 · Sin 2 (0,5 · δх) · Sin (х0) / δх. Це і є відношення приросту функції до допущеному приросту аргументу.
Залишилося знайти межа отриманого нами відносини lim при δх, що прагне до нуля.
Відомо, що межа Sin (δх) / δx дорівнює 1, при цьому умови. А вираз 2 · Sin 2 (0,5 · δх) / δх в отриманому приватному підведемо перетвореннями до твору, який містить в якості множника перший чудовий межа: чисельник і знеменатель дробу розділимо на 2, квадрат синуса замінимо твором. Ось так:
(Sin (0,5 · δx) / (0,5 · δx)) · Sin (δx / 2).
Межа цього виразу при δх, яка прагне до нуля, буде дорівнює числу нуль (1 помножити на 0). Виходить, що межа відносини δy / δх дорівнює Cos (х0) · 1-0, це і є Cos (х0), вираз, яке не залежить від δх, що прагне до 0. Звідси випливає висновок: похідна синуса будь-якого кута х дорівнює косинусу х , запишемо так: у '= Cos (х).
Отримана формула занесена в відому таблицю похідних, де зібрані всі елементарні функції
При вирішенні завдань, де зустрічається похідна синуса, можна користуватися правилами диференціювання і готовими формулами з таблиці. Наприклад: знайти похідну найпростішої функції у = 3 · Sin (х) -15. Скористаємося елементарними правилами диференціювання, виносу числового множника за знак похідної, і обчислення похідної постійного числа (вона дорівнює нулю). Застосуємо табличне значення похідної синуса кута х, рівне Cos (х). Отримуємо відповідь: y '= 3 · Cos (x) -O. Ця похідна, в свою чергу, теж є елементарною функцією у = З · Cos (х).
Похідна синуса в квадраті від будь-якого аргументу
При обчисленні цього виразу (Sin 2 (х)) 'необхідно згадати, як диференціюється складна функція. Отже, у = Sin 2 (х) - є ступеневою функцією, так як синус в квадраті. Аргументом її є теж тригонометрическая функція, складний аргумент. Результат в цьому випадку дорівнює добутку, перший множник якого похідна квадрата даного складного аргументу, а другий - похідна від синуса. Ось як виглядає правило диференціювання функції від функції: (u (v (х))) 'дорівнює (u (v (х)))' · (v (х)) '. Вираз v (х) - складний аргумент (внутрішня функція). Якщо дана функція "ігрек дорівнює синусу в квадраті х", то похідна цієї складної функції буде у '= 2 · Sin (х) · Cos (x). У творі перший подвоєний множник - похідна відомої статечної функції, а Cos (х) - похідна синуса, аргументу складної квадратичної функції. Остаточний результат можна перетворити, скориставшись тригонометричної формулою синуса подвійного кута. Відповідь: похідна дорівнює Sin (2 · x). Ця формула легко запам'ятовується, нею часто користуються як табличній.
