подвійні вимірювання
В геодезичній практиці кожну величину вимірюють незалежно не менше двох разів, так як один вимір безконтрольно. Так, горизонтальний кут вимірюється в положеннях труби теодоліта «коло право" і "коло ліво", лінії вимірюють два рази - в прямому і зворотному напрямку, при геометричному нівелюванні перевищення на станції визначають по чорній та червоній сторонах рейки, в тригонометричному нівелюванні перевищення визначається в прямому і зворотному напрямку, при нівелюванні II і III класу нівелірний хід прокладають в прямому і зворотному напрямку. Такого роду пари вимірювань отримали назву подвійні вимірювання.
У кожній парі подвійних вимірів має місце різниця
де l'i. l "i - результати двох вимірювань одного і того ж об'єкта.
Сукупності різниць i. при досить великому їх числі дають можливість оцінювати точність вимірювань, а в ряді випадків виявляти систематичні похибки.
Обмовимося відразу, що з п'яти чинників, розглянутих нами в п.1.2, різниці i залежать від виконавця, приладу, методу вимірювання, і абсолютно не залежать від об'єкта вимірювання. Ось чому оцінка точності за різницями подвійних вимірювань може виявитися завищеною, так як не враховує похибки центрування теодоліта і установки візирних цілей при вимірюванні горизонтальних кутів, осідання черевиків або кілків при геометричному нівелюванні і інші зовнішні чинники.
З цієї причини оцінку точності за різницями подвійних вимірювань іноді називають оцінкою точності по внутрішньої збіжності.
Оцінка точності за різницями подвійних равноточних вимірювань
При відсутності систематичних похибок на підставі (2.1) можна записати
де X - істинне значення вимірюваної величини Δ'i. Δ "i - випадкові похибки результатів вимірювань.
Віднімаючи в (7.2) з першої рівності друге і беручи до уваги (7.1), запишемо
З (7.3) випливає, що різниці i - справжні похибки подвійних вимірювань.
Ось чому, якщо ми маємо ряд подвійних вимірювань
з яких можна скласти різниці
то середня квадратична похибка різниці на підставі (3.6) визначиться з виразу
З іншого боку, якщо m - середня квадратична похибка окремого результату вимірювання, то на підставі (4.17) можемо записати
Підставляючи md з (7.5) в (7.4), отримаємо формулу обчислення середньої похибки по різницям подвійних вимірів:
а для середнього з двох вимірювань l i = (l 'i + l "i) на підставі (5.2) будемо мати
При відносно невеликому числі вимірювань n надійність оцінок, отриманих на підставі (7.6) і (7.7), можна визначити з виразів
або, враховуючи (7.4) і (7.5),
або, приймаючи до уваги (7.7),
Розглянутий нами спосіб оцінки точності за різницями подвійних вимірювань застосовується тоді, коли різниці i в даному ряду не містять систематичних похибок.
Для виявлення систематичної похибки скористаємося властивістю компенсації випадкових похибок (2.4). При відсутності систематичної похибки величина повинна прагнути до нуля. Відмінність її від нуля може бути наслідком:
різних випадкових факторів;
наявності в різницях i систематичної похибки.
В якості робочої гіпотези приймемо, що різниці подвійних вимірювань містять середню систематичну похибку:
Виключимо цю величину з кожної різниці i.
Обчислюємо емпіричну середню квадратичну похибку. З урахуванням (7.5) і (7.10) вираз набуває вигляду
при виконанні нерівності (7.12) приходимо до висновку, що різниці i містить систематичну похибку. В іншому випадку величина - наслідок різних випадкових причин.