Необхідність обчислення площі різних фігур, в тому числі і трикутних, виникла за кілька століть до нашої ери. Над цим замислювалися вчені і астрономи Стародавньому Єгипті.
У житті іноді зустрічаються ситуації, коли потрібно шукати в засіках пам'яті знання з далеких шкільних років: підійшла черга ремонту в будинку і потрібно розрахувати кількість необхідного матеріалу, або треба було дізнатися площа земельної ділянки у вигляді трикутника.
Людська пам'ять не може відразу відтворити прибрані за непотрібністю шкільні знання, що цілком природно. Тому тут зібрані основні методи для розрахунку площі більшості видів трикутника.
Обчислити площу трикутника можна різними варіантами, застосовуючи певні формули. Методи розрахунку залежать від типів трикутних фігур і від того, які обчислювальні дані відомі.
Трикутник: визначення і види фігури
З курсу геометрії відомо, що трикутник є многокутну фігуру, яка має три лежать на різних лініях точки, з'єднані між собою відрізками. Розмір площі трикутника виражається кількістю укладених в ній квадратних одиниць і являє собою позитивне число, яке показує розмір фігури, в частині поверхні, обмеженою трьома відрізками в замкнутий контур.
Залежно від довжини сторін і величини кута виділяється кілька різновидів трикутників:
- прямокутний, що має один прямий кут;
- гострокутий, всі кути якого гострі, тобто менше 90 градусів;
- тупоугольние, що містить один тупий кут в діапазоні від 90 до 180 градусів;
- рівнобедрений, що має дві рівні за довжиною бічні сторони;
- рівносторонній, у якого всі три сторони мають однакове значення.
Для розрахунку площі кожного типу трикутної фігури використовується спеціальна формула.
Як обчислити площу трикутника?
Класичні формули розрахунку площі трикутних фігур співвідносяться з видами трикутників. Наведені нижче формули визначення площі довільного трикутника підійдуть для встановлення площі, незалежно від його характеристик, кутів або розмірів.
Прямокутний трикутник
Прямокутний трикутник характеризується наявністю прямого кута. Дві його сторони, що утворюють цей кут звуться катетів. Протилежна прямого кута сторона трикутника називається гіпотенузою.
Основна формула розрахунку площі прямокутного трикутника грунтується на значеннях катетів фігури.
де a, b - катети трикутника.
- Перемножуються величини двох катетів.
- Отримане значення ділиться на два.
Обчислити площу прямокутного трикутника можна за іншою формулою, де за основу береться величина гіпотенузи і висота, проведена до неї.
де c - гіпотенуза, hc - висота, проведена до гіпотенузи.
- Множиться довжина гіпотенуза на величину висоти, що йде від протилежного вершини.
- Отримане значення зменшується вдвічі.
Рівнобедрений трикутник
У трикутник дві бічні сторони рівні за значенням, що відрізняється розмірами сторона називається підставою.
Площа рівнобедреного трикутника розраховується за формулою:
де а - рівні сторони трикутника, b - підстава.
- Визначається різниця з чотириразового квадратного кореня рівних сторін і квадратного кореня підстави.
- З отриманого значення витягується квадратний корінь.
- Результат множиться на величину підстави, зменшену в 4 рази.
Рівносторонній трикутник
Окремим випадком рівнобедреного трикутника є рівносторонній, що відрізняється тим, що всі сторони і кути фігури рівні за значенням.
Площа рівностороннього трикутника визначається за формулою:
де a - сторона рівностороннього трикутника.
Визначення площі трикутника з невідомими даними
Класичні формули розрахунку площі трикутника можуть виручити не завжди. Існує ряд ситуацій, коли невідомі необхідні для підстановки в формулу величини. При цьому використовують інші методи для розрахунку площі трикутника, що прямо залежать від того, які дані відомі. Всі варіанти передбачають конкретну формулу і певний порядок проведення розрахунків.
Відомі підставу і висота
Площа трикутника визначається як половина твори висоти фігури і довжини підстави, тобто того боку трикутника, до якої проведена висота.
де b - довжина підстави; h - висота.
- Множиться висота на довжину підстави, виходить площа багатокутника.
- Для отримання площі трикутника отриманий результат ділиться на 2.
Відомі величини трьох сторін
Площа трикутника розраховується за формулою Герона. Для полегшення формули метод передбачає попередній розрахунок величини напівпериметр.
де p - величина напівпериметр; a, b, c - значення довжини сторін трикутника.
- Обчислення напівпериметр за формулою
- Розрахунок площі фігури за формулою Герона.
Відомі дві сторони і кут між ними
Площа трикутника розраховується як твір двох сторін, помножене на синус кута, розташованого між цими сторонами. Кут - геометрична фігура, отримана з двох променів, що виходять з однієї точки (вершини кута).
де a, b - сторони трикутника, C - кут між сторонами.
- Множення двох сторін.
- Визначення синуса кута - тригонометричної функції, в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.
- Множення твори двох сторін на синус кута.
- Отриманий результат ділиться навпіл.
Відомі одна сторона і прилеглі до неї кути
Площа подібного трикутника дорівнює половині квадрата відомої боку, помноженої на дріб, з чисельником, що виражає твір синусів прилеглих кутів, і знаменником, що вказує синус протилежного кута.
- Розраховується квадрат відомої боку і ділиться на 2.
- Перемножуються синуси прилеглих кутів і діляться на синус протилежного. Обчислюється протилежні кут за формулою:
- Перемножуються отримані значення.
Відомі радіус вписаного кола і напівпериметр
Площа трикутника визначається як добуток радіуса вписаного кола на його напівпериметр. Коло називається вписаною, якщо має одну спільну з багатокутником точку з кожного боку фігури. Центральна точка вписаною в трикутник кола завжди розташовується в точці, де перетинаються бісектриси його внутрішніх кутів.
S = p * r, де p - напівпериметр трикутника, r - радіус вписаного кола.
1. напівпериметр визначається як половина суми всіх сторін трикутника за формулою:
де a, b, c - сторони трикутника.
2. перемножуємо напівпериметр трикутника і радіус вписаного кола.
Відомі радіус описаного кола і периметр
Трикутник називається описаним навколо кола, якщо його сторони стикаються з колом, а сам він знаходиться зовні. Площа трикутника визначається як половина твори периметра трикутника і радіусу описаного кола.
де r - радіус описаного кола, a, b, c - сторони трикутника.
- Визначається периметр трикутника як сума всіх його сторін.
- Множиться величина радіусу описаного кола на величину периметра трикутника.
- Отриманий результат ділиться навпіл.
Знання формул обчислення площі трикутника допоможе при визначенні площі об'ємних фігур, в основі граней яких лежать трикутні фігури, таких, як наприклад, піраміда.