Сьогодні ми розглянемо, як за допомогою певного інтеграла знайти площі різних фігур на площині в декартовій системі координат. Це властивість певного інтеграла використовується дуже часто при вирішенні багатьох подібних завдань. І я розповім про основні види таких завдань в цій статті.
Криволінійної трапецією (дивіться на першому малюнку) називається фігура, яка обмежена графіком безперервної, неотрицательной функції f (x) на проміжку [a; b], відрізками прямих x = a і x = b, а також відрізком осі абсцис між точками a і b .
Тепер перейдемо до можливих варіантів розташування фігур, площа яких треба обчислити на координатної площині.
Першим буде найпростіший варіант (перший малюнок), звичайна криволинейная трапеція. як у визначенні. Тут нічого не треба придумувати просто беремо інтеграл від a до b від функції f (x). Знайдемо інтеграл - будемо знати і площа даної трапеції.
У другому варіанті наша фігура буде обмежена не віссю абсцис, а інший функцією g (x). Тому, що б знайти площу CEFD. нам треба спочатку знайти площу AEFB (за допомогою інтеграла від f (x)), потім знайти площу ACDB (за допомогою інтеграла від g (x)). І шукана площа фігури CEFD. буде різниця між першим і другим площами криволінійної трапеції. Оскільки межі інтегрування тут однакові, то це все можна записати під одним інтегралом (дивіться формули під малюнком) все залежить від складності функцій, в якому випадку простіше буде знайти інтеграл.
Третій дуже схожий до першого, але тільки наша трапеція розміщена, чи не над віссю абсцис, а під нею. Тому тут треба брати таке саме невід'ємне, тільки зі знаком мінус, тому що значення інтеграла буде негативним, а значення площі має бути позитивне. Якщо замість функції f (x) взяти функцію -f (x). то її графік буде такою ж просто симетрично відображений щодо осі абсцис.
І четвертий варіант, коли частина нашої фігури знаходиться над віссю абсцис, а частина під нею. Тому нам треба спочатку знайти площу фігури AEFB. як в першому варіанті, а потім площа фігури ABCD. як в третьому варіанті і потім скласти їх. У підсумку ми отримаємо площу фігури DEFC. Оскільки межі інтегрування тут однакові, то це все можна записати під одним інтегралом (дивіться формули під малюнком) все залежить від складності функцій, в якому випадку простіше буде знайти інтеграл.
Це я розглянув найбільш прості варіанти, але на практиці вони завжди зустрічаються в змішаному варіанті по кілька штук. Конкретні приклади і більш складний випадок комбінації цих варіантів буде розглянуто в наступній статті.
Матеріали по темі:
Поділитися з друзями: