Площі геометричних фігур - чисельні значення, що характеризують їх розмір в двовимірному просторі. Ця величина може вимірюватися в системних і позасистемних одиницях. Так, наприклад, позасистемна одиниця площі - сотка, гектар. Це в тому випадку, якщо вимірюваної поверхнею є ділянка землі. Системна ж одиниця площі - квадрат довжини. В системі СІ прийнято вважати, що одиниця площі плоскої поверхні - це квадратний метр. В СГС одиниця площі виражається через квадратний сантиметр.
Геометрія і формули площ нерозривно пов'язані. Цей зв'язок полягає в тому, що обчислення площ плоских фігур ґрунтується саме на їх застосуванні. Для багатьох фігур виведені кілька варіантів, за якими обчислюються їх квадратні розміри. Спираючись на дані з умови задачі, ми можемо визначити максимально простий спосіб для вирішення. Тим самим полегшити розрахунок і звести ймовірність помилки обчислення до мінімуму. Для цього розглянемо основні площі фігур в геометрії.
трикутник
Формули для знаходження площі будь-якого трикутника представлені кількома варіантами:
1) Площа трикутника розраховується на підставі a і висоті h. Підставою вважають сторону фігури, на яку опущена висота. Тоді площа трикутника:
2) Площа прямокутного трикутника розраховується так само, якщо гіпотенузу вважати підставою. Якщо ж за основу прийняти катет, то площа прямокутного трикутника буде дорівнює зменшеному вдвічі твору катетів.
На цьому формули для обчислення площі будь-якого трикутника не закінчуються. Інший вираз містить боку a, b і синусоїдальну функцію кута γ, укладеного між a і b. Значення синуса знаходиться за таблицями. Також його можна дізнатися за допомогою калькулятора. Тоді площа трикутника:
За даним рівності теж можна переконатися в тому, що площа прямокутного трикутника визначається через довжини катетів. Оскільки кут γ - прямий, тому площа прямокутного трикутника розраховується без множення на функцію синуса.
3) Розглянемо окремий випадок - правильний трикутник, у якого сторона a відома за умовою або її довжина знайдеться при вирішенні. Про фігуру в завданні по геометрії більше нічого не відомо. Тоді площа як знайти за цієї умови? У цьому випадку застосовується формула для площі правильного трикутника:
прямокутник
Як знайти площу прямокутника і використовувати при цьому розміри сторін, що мають спільну вершину? Вираз для обчислення таке:
Якщо для обчислення площі прямокутника потрібно використовувати довжини діагоналей, то тоді знадобиться функція синуса кута, утвореного при їх перетині. Така формула площі прямокутника має вигляд:
Площа квадрата визначають як другий ступінь довжини сторони:
Доказ випливає з визначення, згідно з яким квадратом називають прямокутник. У всіх сторін, що утворюють квадрат, однакові розміри. Тому обчислення площі такого прямокутника зводиться до перемножування однієї на іншу, т. Е. До другого ступеня боку. І формула для обчислення площі квадрата прийме шуканий вид.
Площа квадрата можна знайти іншим способом, наприклад, якщо використовувати діагональ:
Як обчислити площу фігури, яка утворена частиною площині, обмеженою колом? Для розрахунку площі формули такі:
- Через радіус кола r. Для площі кола обчислення можна зробити наступним чином:
- Через діаметр окружності d. Знайти площу круга можна так:
Для паралелограма формула містить лінійні розміри боку, висоти і математичне дію - множення. Якщо ж висота невідома, то тоді як знайти площу паралелограма? Є ще один спосіб обчислення. Буде потрібно певне значення, яке прийме тригонометрическая функція кута, утвореного суміжними сторонами, а також їх довжини.
Формули площі паралелограма такі:
Як знайти площу чотирикутника, званого ромбом? Площа ромба визначається за допомогою простих математичних дій з діагоналями. Доказ спирається на той факт, що відрізки діагоналей в d1 і d2 перетинаються під прямим кутом. По таблиці синусів видно, що для прямого кута дана функція дорівнює одиниці. Тому площа ромба розраховується так:
Ще площа ромба може бути знайдена в інший спосіб. Довести це теж неважко, якщо врахувати, що сторони його однакові по довжині. Потім підставити їх твір в схоже вираз для паралелограма. Адже окремим випадком саме цієї фігури є ромб. Тут γ - внутрішній кут ромба. Площа ромба визначають так:
Як знайти площу трапеції через підстави (a і b), якщо в завданні вказані їх довжини? Тут без відомого значення довжини висоти h обчислити площу такої трапеції не вдасться. Оскільки цю величину містить вираз для обчислення:
Квадратний розмір прямокутної трапеції теж можна обчислити таким же способом. При цьому враховують, що в прямокутної трапеції поняття висоти і збоку об'єднані. Тому для прямокутної трапеції потрібно вказувати замість висоти довжину бічної сторони.
Циліндр і паралелепіпед
Розглянемо що потрібно, щоб розрахувати поверхню всього циліндра. Площа цієї фігури становить пара кіл, які називаються підставами, і бокова поверхня. Кола, що утворюють кола мають довжини радіусів, рівні r. Для площі циліндра має місце таке обчислення:
Як знайти площу паралелепіпеда, який складається з трьох пар граней? Його виміри збігаються з конкретною парою. Грані, що знаходяться протилежно, мають однакові параметри. Спочатку знаходять S (1), S (2), S (3) - квадратні розміри нерівних граней. Потім вже площа поверхні паралелепіпеда:
Два кола із загальним центром утворюють кільце. Вони ж обмежують площу кільця. При цьому обидві розрахункові формули враховують розміри кожного кола. Перша з них, що обчислює площу кільця, містить більший R і менший r радіуси. Найчастіше їх називають зовнішнім і внутрішнім. У другому вираженні площа кільця розраховується через більший D і менший d діаметри. Таким чином, площа кільця по відомим радіусів розраховують так:
Площа кільця, з використанням довжин діаметрів, визначають наступним чином:
багатокутник
Як знайти площу багатокутника, форма якого не є правильною? Загальної формули для площі таких фігур немає. Але якщо вона зображена на координатної площині, наприклад, це може бути картата папір, тоді як знайти площу поверхні в цьому випадку? Тут застосовують спосіб, який не вимагає приблизно виміряти фігуру. Надходять так: якщо знайшли точки, які потрапляють в куточок клітини або мають цілі координати, то враховують тільки їх. Щоб потім з'ясувати, чому дорівнює площа, використовують формулу, доведену Піком. Необхідно скласти кількість точок, розташованих усередині ламаної лінії з половиною точок, що лежать на ній, і відняти одиницю, т. Е. Обчислюється це таким чином:
де В, Г - кількість точок, розташованих усередині і на всій ламаної лінії відповідно.
