Ендогенні, інструментальні змінні і узагальнений метод моментів (ОММ)
До сих пір передбачалося, що залишки в лінійної моделі регресії були одночасно некорреліровани ( "contemporaneously uncorrelated") з пояснюють змінними, або навіть, що вони були незалежні від усіх пояснюють переменних1 ^. В результаті лінійна модель могла інтерпретуватися як опис залежності умовного математичного очікування залежною змінною yt від заданих значень пояснюють змінних Xt. У цьому розділі ми обговоримо випадки, в яких неможливо або неможливо розглядати пояснюючі змінні в моделі як фіксовані або екзогенні змінні. У таких випадках деякі з пояснюють змінних можуть бути корельовані з залишком рівняння, так що МНК-оцінка виявиться зміщеною і неспроможною. Існують різні причини, чому можна стверджувати, що залишки одночасно коррелірованни з однієї або більше пояснюють змінними, але загальний висновок полягає в тому, що лінійна
Нагадаємо, що незалежність більш суворе умова, ніж некоррелірованні (див. Додаток Б).
модель більше не відповідає умовному математичного сподівання або найкращою лінійної апроксимації.
У параграфі 5.1 ми починаємо з огляду властивостей МНК-оцінки в лінійної моделі при різних наборах припущень. У параграфі 5.2 обговорюються випадки, коли не можна показати, що МНК-оцінка повинна бути несмещенной або заможної. У таких випадках, ми повинні шукати альтернативні оцінки. У параграфах 5.3 і 5.5 розглядається оцінка методом інструментальних змінних (МІП-оцінка), тоді як в параграфі 5.6 ми узагальнюємо клас МІП-оцінок, розглядаючи їх як окремий випадок узагальненого методу моментів (ОММ), який дозволяє оцінювати і нелінійні моделі. У параграфах 5.4 і 5.7 наводяться емпіричні приклади, що стосуються віддачі від освіти і оцінювання моделей ціноутворення фінансових активів, відповідно.
5.1. Огляд властивостей МНК-оцінки
У розділах 2 і 4 ми бачили, що МНК-оцінка b є несмещенной
для вектора невідомих параметрів / 3, якщо можна припустити,
що вектор залишків є має нульовий вектор середніх і вектор умовних середніх, що не залежить від матриці X, тобто, = О
(Припущення (А10) з глави 4). Це говорить про те, що знання
будь-який з пояснюють змінних не інформативно щодо
значення математичного очікування будь-якого із залишків. Припущення незалежності матриці X і вектора залишків є разом
з припущенням Е = 0 (припущення (А1) і (А2) з розділу 2.3) означає, що Е = 0, але є більш суворим,
оскільки не дозволяє ковариационной матриці вектора залишків є
також залежати від матриці X.
У багатьох випадках припущення, що вектор залишків є має умовне середнє, незалежне від X, занадто суворе. Щоб проілюструвати це, почнемо з прикладу. Гіпотеза ефективного ринку (при постійних очікуваної прибутковості) має на увазі, що прибутковості на будь-який фінансовий актив непередбачувані по будь публічно доступної інформації. При так званої слабкої формі гіпотези ефективного ринку прибутковості фінансового активу неможливо спрогнозувати з їх власної передісторії (див. Основоположну статтю (Fama, 1970)). Цю гіпотезу можна протестувати статистично, використовуючи модель регресії і тестуючи, пояснюють чи лагірованние прибутковості поточні прибутковості. Таким чином, в моделі
Vt = Pi + foyt-i + PsVt-2 + eu (5.3)
де yt позначає прибутковість в такті часу £, нульова гіпотеза слабкої форми ефективності означає, що /? 2 = / Зз - 0. Оскільки пояснюючі змінні є лагірованнимі залежними змінними (які є функцією лагірованних залишків), припущення E = 0 є нереалістичним. Проте, ми можемо зробити слабші припущення, згідно з яким МНК-оцінка є спроможною для / 3 = (/ Зі, / З2, РЗУ У позначеннях більш загальної моделі (5.1), розглянемо наступну сукупність припущень:
xt і St незалежні (для кожного і), (А8) et
де (All) є коротким записом, що говорить, що залишки St незалежні і однаково розподілені з нульовим середнім і діспер2 2)
сией a. При деяких додаткових умовах регулярності; МНК-оцінка ред спроможна для вектора невідомих параметрів / 3 і розподілена асимптотично нормально з ковариационной матрицею cr2 £
J, де, як і раніше,
Формально має місце
що відповідає результату (2.74) з голови 2. Таким чином, для малих вибірок наближено справедливо
Цей результат щодо розподілу МНК-оцінки є таким же, як і результат, отриманий при припущеннях Гаусса-Маркова (А1) - (А4) разом з припущенням нормальності залишків (А5), хоча результат (5.5) дійсний тільки наближено на підставі асимптотичного результату ( 5.4). Це означає, що всі стандартні критерії для лінійної моделі (t-критерій, F-критерій, критерії Вальда) є справедливими наближено за умови, що задовольняються припущення (А8), і (А. 11). Для того, щоб був дійсний результат асимптотичного розподілу (5.4), ми повинні припустити, що вектор пояснюють змінних xt і залишок St незалежні (для будь-якого t). Це означає, що залежність вектора xs від залишку st допускається до тих пір, поки s ф t. Найважливішим прикладом такої ситуації є включення лагірованной залежною змінною. Справжній результат говорить про те, що до тих пір, поки залишки незалежно і однаково розподілені, присутність лагірованной залежною змінною у векторі Xt впливає на властивості МНК-оцінки тільки при малих вибірках, але не впливає на асимптотическое розподіл. При припущеннях (А8) і (All) МНК-оцінка спроможна і асимптотично ефективна.
Припущення (АН) виключає наявність автокореляції та гетероскедастичності в залишку StВ наведеному вище прикладі можна виключити наявність автокореляції, оскільки вона порушує гіпотезу ефективного ринку (про те, що прибутковості повинні бути непередбачуваними). Припущення гомоскедастичність більш проблематично. Гетероскедастичності може виникнути, якщо більш ймовірно, що залишок буде приймати екстремальні значення при специфічних значеннях одного або більше регресорів. В цьому випадку дисперсія залишку St залежить від вектора пояснюють змінних xt. Точно так же обурення в фінансовому тимчасовому ряді зазвичай мають тенденцію до кластеризації в часі, тобто, більш імовірно, що великі обурення будуть супроводжуватися великими збуреннями в будь-якому з двох напрямків. Так, наприклад, після краху фондової біржі важко прогнозувати, підвищаться або знизяться курси акцій в наступні такти часу, і ясно, що в цей період часу на ринку існує набагато більш невизначена ситуація, ніж в інші періоди. В цьому випадку, дисперсія помилки Et залежить від попередніх збурень et-i. Такі випадки називаються умовної гетероскедастичності, або іноді акронимам Аруг або ОАРУГ, які конкретизують специфікації для моделювання такого феномена 3 ^.
Після відмови від припущення (All) більше не можна стверджувати, що cr2E
J є відповідною ковариационной матрицею, і що наближено справедливий вираз (5.5). Однак, в загальному, спроможність і асимптотична нормальність b не зачіпається. Крім того, асимптотично справедливі висновки можна зробити, якщо ми оцінюємо ковариационную матрицю іншим способом. Ослабимо припущення (А8) і (All) до припущень
E = 0 для кожного £, (А7)
Et - серійно некорреліровани.
і мають нульові математичні очікування.
Припущення (А7) накладає умову, що вектор пояснюють змінних xt некорреліровани 4) із залишком Et, тоді як припущення (А12) допускає гетероскедастичності в залишку, але виключає наявність автокореляції. При деяких додаткових умовах регулярності, можна показати, що МНК-оцінка ред спроможна для вектора параметрів (5 і асимптотично нормальна, а саме
у / Т (Ь 0) -> ЩО, S- ^ SS-i), (5.6)
Е її plim- ^ et2xtx ;.
Гетероскедастичності, а ОАРУГ - скорочена назва для Узагальненою
обговорювати це в главі 8.
*) В англомовній літературі ці ситуації позначаються за допомогою ARCHі GARCH-моделей, відповідно: AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity and Generalized ARCH (прим. Наук. Ред. Перекладу).
4) Зауважимо, що E = cov, якщо хоча б одна з змінних xt і zt
має нульові середні значення (див. Додаток Б).
В цьому випадку, асимптотическую ковариационную матрицю можна оцінити за методом Уайта (див. Розділ 4). Отже, асимптотична ковариационная матриця
v = J2 х *<Ее*х><(Е ) ' (5-7)
де позначає МНК-оцінений залишок, є спроможною оцінкою для істинної ковариационной матриці МНК-оцінки при припущеннях (А6), (А7) і (А12). Отже, всі стандартні критерії для лінійної моделі асимптотично справедливі при наявності гетероскедастичності невідомого виду, якщо критичні статистики скориговані заміною стандартної оцінки для МНК ковариационной матриці заможної оцінкою при наявності гетероскедастичності (5.7).
Щоб протестувати прогнози цих п'ятирічних доходностей, припустимо, що ми оцінюємо модель, яка пояснює Yt його значенням в попередній п'ятирічний період (УІ-б)? використовуючи дані за кожен рік, тобто
Yt = 65 + 05Yt-5 + eu t = 1. Г (роки). (5.8)
Все Т щорічних спостережень в вибірці за п'ятирічними дохід-ності регресують на константу і п'ятирічну прибутковість, ла-гірованного п'ятьма роками. У цій моделі залишок схильний автокорреляции через проблеми перекриваються вибірок. Щоб пояснити проблему перекриваються вибірок, припустимо, що для щорічних доходностей справедлива наступна модель
yt = 8г + # iyt_i + щ, (5.9)
де залишок щ не схильний до жодної автокорреляции. При нульовій гіпотезі, що # i = 0, можна показати, що 5 $ = 55 і 6 $ = О, тоді як
Отже, ковариация між St і St-j відрізняється від нуля до тих пір, поки j <5. Из главы 4 мы знаем, что присутствие автокорреляции делает недействительными обычно вычисляемые стандартные ошибки, включая стандартные ошибки, основанные на состоятельной ковариационной матрице при наличии гетероскедастичности (5.7). Однако если мы можем все еще предположить, что регрессоры одновременно некоррелированны с остатками (условие (А7)) и автокорреляция равна нулю после Н тактов времени, то можно показать, что все результаты, основанные на предположениях (А7) и (12), справедливы, если ковариационная матрица МНК-оценки оценивается с помощью оценки Невье—Веста (Newey, West, 1987), представленной в п. 4.10.2
V * = (j2xtx't) TS * (^ xtx> t). (5.10)
= - ^ 2 e ^ xtxft + - ^ 2wj е8еаЧ (хах'8Ч + х8Чх'8) (5.11)
з Wj - 1 - j / H. Зауважимо, що в наведеному вище прикладі Н дорівнює 5. Як наслідок, при наявності гетероскедастичності і автокореляції (до кінцевого числа лагов) стандартні критерії для лінійної моделі справедливі асимптотично, якщо ми замінюємо стандартну оцінку ковариационной матриці заможної оцінкою з урахуванням гетероскедастичності та автокореляції (5.10).
5.2. Випадки, коли не можна користуватися МНК-оцінкою
У попередньому параграфі показано, що ми можемо обмежитися припущенням (А7), наклавши умову E - 0, по суті, не зачіпаючи спроможність МНК-оцінки. Якщо автокорреляция в залишку обмежена будь-яким чином, то все ще можна отримувати відповідні висновки для такого випадку, використовуючи для ковариационной матриці оцінки Уайта або Невье-Веста. Припущення, що E - 0, каже, що залишки і пояснюючі змінні є одночасно некоррелірованнимі. Іноді існують статистичні або економічні причини, чому ми не хотіли б накладати цю умову. У таких випадках ми більше не можемо стверджувати, що МНК-оцінка несмещенная або заможна, і повинні розглянути альтернативні функції оцінювання. Деякі приклади таких ситуацій: присутність лагірованной залежною змінною і наявність автокореляції в залишку, помилки вимірювання в регресорів, і одночасність або ендогенні регресорів. Тепер по черзі розглянемо приклади таких ситуацій.
5.2.7. Автокорреляция залишків і лагірованная
залежна змінна в якості регресорів
Припустимо, що цікавить нас модель задається у вигляді
Vt = 0i + 02Xt + PsVt-i + (5.12) де xt - єдина пояснює змінна. Згадаймо, що поки ми можемо припустити, що E = 0 і E - Про для всіх £, МНК-оцінка для вектора невідомих параметрів / З =. /? 2, РЗУ заможна (за умови, що виконуються деякі умови регулярності). Однак припустимо, що залишок Et схильний автокорреляции першого порядку, тобто
et = pst-i + щ. (5.13) Тепер ми можемо переписати модель у вигляді
Vt = 0i + faxt + РзУі-і + pet-i + vu (5.14) Але також справедливо, що
yt-i = / Зі + t32xt + РзУг-2 + (5.15) з якого безпосередньо слід, що залишок St коррелирован з лагірованной залежною змінною yt-iТакім чином, якщо
Можна відзначити, що в наведеному вище прикладі лінійна модель регресії не відповідає умовному математичного сподівання залежної змінної yt при заданих пояснюють змінних xt і yt-iПоскольку знання лагірованной залежною змінною yt-i каже нам дещо про математичне сподівання залишку et, то умовне математичне сподівання E є функцією від лагірованной залежною змінною yt-i-Отже, останній член у виразі
буде відмінним від нуля. Оскільки ми знаємо, що МНК взагалі заможний при оцінюванні умовного математичного очікування, то ми можемо вважати, що МНК неспроможний щоразу, коли модель, яку ми оцінюємо, не відповідає умовному математичного сподівання. Таким випадком якраз і є випадок, коли лагірованная залежна змінна включається в пояснюючі змінні і залишок схильний автокорреляции.
5.2.2. Приклад з помилкою вимірювання
Інший приклад, в якому МНК-оцінка, ймовірно, буде неспроможна, виникає, коли пояснює змінна вимірюється з помилкою. Припустимо, що змінна yt залежить від змінної wt відповідно до рівняння
yt = Pi + fowt + (5.17)
де vt - залишок з нульовим середнім значенням і дисперсією <т^. Предполагается, что E = 0, так что модель описывает математическое ожидание зависимой переменной yt при заданном значении переменной wt,
E = 0i + 02WtВ Як приклад, ми можемо припустити, що залежна змінна yt позначає заощадження сім'ї і wt означає наявний дохід. Ми припустимо, що Wt не може вимірюватися абсолютно точно (наприклад, через повідомлення неточних відомостей) і позначимо виміряне значення пояснює змінної wt через xt. Для кожного спостереження пояснює змінна Xt дорівнює, з побудови, істинного значення Wt плюс помилка вимірювання ut, тобто
Розглянемо наступну сукупність припущень, яка може бути прийнятна в певних програмах. По-перше, припустимо, що помилка вимірювання щ має нульове середнє і постійну дисперсію о. По-друге, припустимо, що помилка вимірювання щ незалежна від залишку щ в моделі. Третє і найважливіше припущення буде полягати в тому, що помилка вимірювання незалежна від лежачого в основі істинного значення wt. Це означає, що справжній рівень наявного доходу (в нашому прикладі) не містить ніякої інформації про розмір, знакові або значенні помилки вимірювання. Підставивши вираз (5.18) в рівняння (5.17), отримуємо
Уг = 01 + 02Xt + єі (5.19)
де st = щ 02ЩУравненіе (5.19) являє лінійну модель в термінах спостережуваних змінних yt і xt із залишком StЕслі ми використовуємо доступні дані щодо спостережуваних змінних yt і xt, і не викликає сумнівів регресію yt на xt і константу, то МНК-оцінка b є неспроможною для вектора невідомих параметрів 0 = (0, 02) ', оскільки спостерігається змінна xt залежить від помилки виміру щ і, отже, від залишку StТо є, E / Оі одна з необхідних умов для спроможності b порушено. Припустимо, що fa> 0. Коли помилка вимірювання в спостереженні позитивна, то при цьому можуть виникнути дві ситуації: Xt з (5.18) має позитивну компоненту г ^, і Et з (5.19) має негативну компоненту -faut. Отже, xt і et коррелірованни негативно, E
Щоб проілюструвати неспроможність МНК-оцінки, напишемо МНК-оцінку параметра fa у вигляді (див. П. 2.1.2),
де х позначає вибіркове середнє значення Xt # 9632; Підставивши вираз (5.19) у вираз (5.20), можна отримати