Головна nbsp> nbsp Wiki-підручник nbsp> nbsp Математика nbsp> nbsp10 клас nbsp> nbspПеріодічность тригонометричних функцій: парні і непарні
Залежність змінної y від змінно x, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення y називається функцією. Для позначення використовують запис y = f (x). У кожної функції існує ряд основних властивостей, таких як монотонність, парність, періодичність та інші.
Властивості парності і періодичності
Розглянемо докладніше властивості парності і періодичності, на прикладі основних тригонометричних функцій: y = sin (x), y = cos (x), y = tg (x), y = ctg (x).
Функція y = f (x) називається парною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:
1. Область визначення цієї функції повинна бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.
2. Значення функції в точці х, що належить області визначення функції має дорівнювати значенню функції в точці х. Тобто для будь-якої точки х, з області визначення функції має виконуватися така рівність f (x) = f (-x).
Якщо побудувати графік парної функції, він буде симетричний щодо осі Оу.
Наприклад, тригонометрическая функція y = cos (x) є парною.
Властивості непарності і періодичності
Функція y = f (x) називається непарною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:
1. Область визначення цієї функції повинна бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.
2. Для будь-якої точки х, з області визначення функції має виконуватися така рівність f (x) = -f (x).
Графік непарної функції симетричний відносно точки О - початку координат.
Наприклад, тригонометричні функції y = sin (x), y = tg (x), y = ctg (x) є непарними.
Періодичність тригонометричних функцій
Функція у = f (х) називається періодичною, якщо існує певна кількість Т! = 0 (зване періодом функції у = f (х)), таке що при будь-якому значенні х, що належить області визначення функції, числа х + Т і х-Т також належать області визначення функції і виконується рівність f (x) = f (x + T) = f (xT).
Слід розуміти, що якщо Т - період функції, то число k * T, де k будь-яке ціле число відмінне від нуля, також буде періодом функції. Виходячи з вищесказаного, отримуємо, що будь-яка періодична функції має нескінченно багато періодів. Найчастіше розмова ведеться про найменшому періоді функції.
Тригонометричні функції sin (x) і cos (x) є періодичними, з найменшим періодом рівним 2 * π.
Тригонометричні функції tg (x) і ctg (x) є періодичними, з найменшим періодом рівним π.