Перевірка адекватності лінійної регресійної моделі
Лінійна регресійна модель називається адекватною. якщо передбачені по ній значення змінної y узгоджуються з результатами спостережень. Груба оцінка адекватності моделі може бути приведена безпосередньо за графіком залишків, тобто за сумою квадратів різниць між спостереженнями та відповідними в значеннями y, отриманими за рівнянням регресії.
Якщо модель адекватна, то залишки є реалізаціями випадкових помилок спостережень. які в силу предполженій незалежні, мають нормальний розподіл з нульовими математичними очікуваннями і однаковими дисперсіями .Проверка виконання цих припущень різними статистичними методами лежить в основі оцінки його за графіком залишків.
Нехай для кожного або деяких значень змінної х є кілька повторних спостережень випадкової величини у.
Нехай повторні спостереження отримані при значеннях х1, х2, ...... хm причому при х = хi вироблено ni спостережень у. де = n - обсяг вибірки спостережень. Позначимо yij - результати повторних спостережень змінної у при х = хi i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., ni;
Якщо модель адекватна спостереженнями. то Cредние ni спостережень. тобто , I = 1,2, ..., m повинні бити близькі до обчисленими значеннями у (хi).
Слідчо сума квадратів Qn = є мірою неадекватності моделі.
Залишкова сума квадратів Qe може бути розбита на дві складових:
де - сума чистого помилки
Якщо лінійна регресія адекватна даними. то статистики Qp і Qn незалежні і мають розподіл 2 відповідно з m -2 і n-m ступенями свободи.
Ставлення цих статистик має розподіл Фішера, тобто .:
Якщо, то модель адекватна спостереженнями і можна використовувати в якості оцінки дисперсії, в іншому випадку потрібно використовувати іншу модель (нелінійну).
Знайти оцінки параметрів лінійної регресії за наступними даними: