Будь-яку коливальну систему з двома ступенями свободи можна уявити як дві системи з одним ступенем свободи, пов'язані між собою. Через наявність зв'язку з цим коливання в одній системі впливають на коливання в іншій системі, і навпаки. Такі системи, на які можна розбити складну коливальну систему, називаються парціальними системами. Парциальная коливальна система описується однією узагальненою координатою і виходить з повної системи, якщо всі інші узагальнені координати покласти рівними нулю. Частоти вільних коливань парціальних систем називаються парціальними частотами повної системи.
Розбиття повної системи на парціальні неоднозначно, оскільки незалежні координати можуть бути обрані різними способами. Так, наприклад, в коливальному контурі, зображеному на рис. 57, в якості незалежних координат можна вибрати будь-яку пару струмів i1 і i2; i1 і i3 або i2 і i3. і тоді парціальні системи матимуть вигляд, представлений на рис. 58. Відповідно змінюються і парціальні частоти. Для незалежних координат i1 і i2 вони рівні, для i1 і i3 -,. для i2 і i3 -,. Характер зв'язку між парціальними системами також залежить від вибору незалежних змінних. На рис. 58, а зв'язок индуктивная, 58, б - місткість і 58, в - змішана. В якості незалежних змінних в контурі на рис. 57, можна вибрати також напруги на конденсаторах u1 і u2. В цьому випадку парціальні системи виходять при короткому замиканні конденсаторів C1 і C2. Відповідні парціальні частоти рівні,. Фізично ясно, що рух в повній системі при заданих початкових умовах буде одним і тим же, але запис його в різних координатах різна.
Мал. 57. Схема електричного коливального контуру з двома ступенями свободи. а) б) в) Рис. 58. Різні варіанти розбиття системи, показаної на рис. 57, на парціальні системи. Мал. 59. Два пов'язаних маятника.
Тепер проведемо вивчення вільних коливань в системі з двома ступенями свободи на прикладі двох маятників, пов'язаних пружиною і здійснюють коливання в площині малюнка (рис. 59).
Якщо кути відхилення маятників від положення стійкої рівноваги досить малі, то кінетична і потенційна енергії системи дорівнюють
де k - жорсткість пружини. Тоді рівняння руху системи (рівняння Лагранжа):
Особливістю рівнянь руху, записаних в нормальних координатах, є відсутність членів, що описують зв'язки між системами, т. Е. Система розбивається на дві незалежні системи. За зв'язок, взагалі кажучи, відповідає доданок, що містить твір парціальних координат в рівнянні Лагранжа. Отже, в виразах для кінетичної і потенційної енергій системи, записаних в нормальних координатах, не міститься твори координат.
Мал. 60. Графік Вина.
Мал. 61. Залежність коефіцієнтів розподілу від парціальних частот.
Розглянемо залежність нормальних частот системи від співвідношення парціальних частот маятників. За допомогою співвідношення (7.7) можна побудувати графік залежності квадратів нормальних частот від парціальних. Для визначеності будемо вважати, що змінюється тільки одна з парціальних частот, наприклад n2. Тоді графік такої залежності, званий графіком Вина. матиме вигляд, представлений на рис. 60. Як видно, при будь-якому n2 парціальні частоти лежать між власними частотами. Ця властивість є загальним для будь-яких консервативних систем з двома ступенями свободи.
З рівняння (7.7) видно, що якщо парціальні частоти сильно розрізняються, то при не дуже сильного зв'язку (), нормальні частоти близькі до парціальним частотам (w1,2 »n1,2). У міру зближення парціальних частот нормальні частоти відходять від парціальних. Найбільше відміну w1,2 від n1,2 спостерігається поблизу рівності парціальних частот (n1 = n2).
Побудуємо тепер графік, що показує поведінку коефіцієнтів c1 і c2 при зміні парціальної частоти n2 (рис. 61). Так як n1 завжди більше w1 і менше w2. то з співвідношень (7.8) випливає, що c1 завжди більше нуля (c1> 0), а c2 завжди менше нуля (c2 <0). Поэтому колебания на частоте w1 всегда происходят в фазе (синфазны), а колебания на частоте w2 всегда противофазны.
У загальному випадку величину фізичної зв'язку (обмін енергією) між парціальними системами характеризують связностью
яка визначається не тільки коефіцієнтами зв'язку, а й близькістю значень парціальних частот. Якщо зв'язність мала (s <<1), когда обмен энергией между парциальными системами мал, собственные частоты близки к соответствующим парциальным частотам (w1,2 » n1,2 ). Также, при малой связности обмен энергией между парциальными системами незначителен.