Параболою називається геометричне місце точок, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точки площини, яку називають фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, званої директоркою. Фокус параболи позначається буквою F, відстань від фокуса до директриси - буквою р. Число р називається параметром параболи.
Нехай дана деяка парабола. Введемо декартову прямокутну систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через
фокус даної параболи перпендикулярно до директрисі і була спрямована від директриси до фокусу; початок координат розташуємо посередині між фокусом і директоркою (рис. 19). У цій системі координат дана парабола буде визначатися рівнянням
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням параболи. У цій же системі координат директриса даної параболи має рівняння
Фокальний радіус довільної точки М (х; у) параболи (т. Е. Довжина відрізка FM) може бути обчислений за формулою
Парабола має одну вісь симетрії, яка називається віссю параболи, з якої вона перетинається в єдиній точці. Точка перетину параболи з віссю називається її вершиною. При зазначеному вище виборі координатної системи вісь параболи поєднана з віссю абсцис, вершина знаходиться на початку координат, вся парабола лежить, в правій півплощині.
Якщо координатна система обрана так, що вісь абсцис поєднана з віссю параболи, початок координат - з вершиною, але парабола лежить в лівій півплощині (рис. 20), то її рівняння буде мати вигляд
У разі, коли початок координат знаходиться в вершині, а з віссю поєднана вісь ординат, парабола буде мати рівняння
якщо вона лежить у верхній півплощині (рис. 21), і
- якщо в нижній півплощині (рис. 22),
Кожне з рівнянь параболи (2), (3), (4), як і рівняння (1), називається канонічним.
583. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, знаючи, що:
1) парабола розташована в правій півплощині симетрично щодо осі Ох, і її параметр p = 3;
2) парабола розташована в лівій півплощині симетрично щодо осі Ох, і її параметр Р = 0,5;
3) парабола розташована у верхній півплощині симетрично щодо осі Оу, і її параметр p = 1/4
4) парабола розташована в нижній півплощині симетрично щодо осі Оу, і її параметр р = 3.
584. Визначити величину параметра і розташування щодо координатних осей наступних парабол:
1) y 2 = 6x; 2) х 2 = 5у; 3) у 2 = - 4х; 4) х 2 = - у.
585. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, знаючи, що:
1) парабола розташована симетрично щодо осі Ох і проходить через точку А (9; 6);
2) парабола розташована симетрично щодо осі Ох і проходить через точку В (-1; 3);
3) парабола розташована симетрично щодо осі Про у і проходить через точку С (1; 1).
4) парабола розташована симетрично щодо осі Оу і проходить через точку D (4; - 8).
586. Сталевий трос підвішений за два кінця; точки кріплення розташовані на однаковій висоті; відстань між ними дорівнює 20 м. Величина його прогину на відстані 2 м від точки кріплення, вважаючи по горизонталі, дорівнює 14,4 см. Визначити величину прогину цього троса в середині між точками кріплення, наближено вважаючи, що трос має форму дуги параболи.
587. Скласти рівняння параболи, яка має фокус E (0; -3) і проходить через початок координат, знаючи, що її віссю служить вісь Оу.
588. Встановити, які лінії визначаються наступними рівняннями:
1) y = + 2√х; 2) у = + √ (- х); 3) у = - 3 √ (- 2х);
4) y = - 2 √x; 5) x = + √ (5y) 6) x = - 5√ (- y);
7) х = - √ (3y); 8) х = + 4√ (- y);
Зобразити ці лінії на кресленні.
589. Знайти фокус F і рівняння директриси параболи у 2 = 24x.
590. Обчислити фокальний радіус точки М параболи у 2 = 20х, якщо абсциса точки М дорівнює 7.
591. Обчислити фокальний радіус точки М параболи у 2 = 12х, якщо ордината точки М дорівнює 6.
592. На параболі у 2 = 16x знайти точки, фокальний радіус яких дорівнює 13.
593. Скласти рівняння параболи, якщо дано фокус F (-7; 0) і рівняння директриси х - 7 = 0.
594. Скласти рівняння параболи, знаючи, що її вершина збігається з точкою (α; β), параметр дорівнює р, вісь паралельна осі Ох і парабола простягається в нескінченність:
1) в позитивному напрямку осі Ох;
2) в негативному напрямку осі Ох.
595. Скласти рівняння параболи, знаючи, що її вершина збігається з точкою (α; β), параметр дорівнює р, вісь паралельна осі Оу і парабола простягається в нескінченність:
1) в позитивному напрямку осі Оу (т. Е. Парабола є висхідною);
2) в негативному напрямку осі Оу (т. Е. Па-рабола є низхідній).
596. Установити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу, і знайти координати її вершини А, величину параметра р і рівняння директриси: 1) y 2 = 4х - 8; 2) у 2 = 4 - 6х; 3) х 2 = 6У + 2; 4) х 2 - 2 - у.
597. Установити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу, і знайти координати її вершини A і величину параметра p: 1) у = 1/4 х 2 + х + 2; 2) у = 4х 2 - 8х + 7; 3) y = -1 / 6 х 2 + 2х - 7.
598. Установити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу, і знайти координати її вершина А і величину параметра р: 1) х = 2у 2 - 12y + 14;
2) x = - 1 / 4y 2 + y; 3) х = -у 2 + 2у - 1.
599. Встановити, які лінії визначаються дотримуюся-ські рівняннями:
1) у = 3 - 4 √ (х - 1); 2) х = -4 + 3√ (y + 5);
3) х = 2 - √ (6 - 2у); 4) y = - 5 + √ (-Зх - 21).
Зобразити ці лінії на кресленні.
600. Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокус F (7; 2) і директриса х - 5 = 0
601. Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокус F (4; 3) і директриса у + 1 = 0.
602. Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокус F (2; -1) і директриса х - у - 1 = 0.
603. Дано вершина параболи A (6; -3) і рівняння її директриси 3x - 5у + 1 = 0, Знайти фокус F цієї параболи.
604. Дано вершина параболи A (-2; - 1) і рівняння її директриси х + 2у - 1 = 0. Скласти рівняння цієї параболи.
605. Визначити точки перетину прямої x + y - 3 = 0 і параболи х 2 = 4у.
606. Визначити точки перетину прямої Зх + 4у - 12 = 0 і параболи у 2 = - 9х.
607. Визначити точки перетину прямої Зх - 2у + 6 = 0 і параболи у 2 = 6х.
608. В таких випадках визначити, як розташована дана пряма щодо даної параболи - перетинає чи, стосується чи проходить поза нею: 1) х - y + 2 = 0, у 2 = 8х; 2) 8х + 3y - 15 = 0, х 2 = -3у; 3) 5х -у - 15 = 0, у 2 = - 5х.
609. Визначити, при яких значеннях кутового коефіцієнта k пряма y = kx + 2 1) перетинає параболу у 2 = 4х; 2) стосується її; 3) проходить поза цією параболи.
610. Вивести умову, за якої пряма у = KХ + b стосується параболи у 2 = 2рх.
611. Довести, що до параболи у 2 = 2рх можна провести одну і тільки одну дотичну з кутовим коефіцієнтом k ≠ 0.
612. Скласти рівняння дотичної до параболи у 2 = 2рх в її точці M1 (х1; у1).
613. Скласти рівняння прямої, яка стосується параболи у 2 = 8х і паралельна прямій 2х + 2у - 3 = 0.
614. Скласти рівняння прямої, яка стосується параболи х 2 = 16У і перпендикулярна до прямої 2х + + 4у + 7 = 0.
615. Провести дотичну до параболи у 2 = 12х паралельно прямий Зх - 2y + 30 = 0 і обчислити відстань d між цією дотичній і даної прямої.
616. На параболі у 2 = 64х знайти точку М1. найближчу до прямої 4х + Зy - 14 = 0, і обчислити відстань d від точки M1 до цієї прямої.
617. Скласти рівняння дотичних до параболи у 2 = ЗПХ, проведених з точки A (2; 9).
618. До параболі у 2 = 2рх проведена дотична. Довести, що вершина цієї параболи лежить посередині між точкою перетину дотичної з віссю Ох і проекцією точки дотику на вісь Ох.
619. З точки А (5; 9) проведено дотичні до параболи у 2 = 10х. Скласти рівняння хорди, що з'єднує точки дотику.
620. З точки Р (-3; 12) проведені дотичні до параболи у 2 = 10х. Обчислити відстань d від точки Р до хорди параболи, що з'єднує точки дотику.
621. Визначити точки перетину еліпса x 2/100 + y 2/225 = 1 і параболи у 2 = 24x. х *
622. Визначити точки перетину гіперболи x 2/20 - y 2/5 = -1 і параболи у 2 = Зх
623. Визначити точки перетину двох парабол: y = х 2 - 2х + 1, х == у 2 - 6У + 7.
624. Довести, що пряма, яка стосується параболи в деякій точці М, становить рівні кути з фокальним радіусом точки М і з променем, який, виходячи з М, йде паралельно осі параболи в ту сторону, куди парабола нескінченно простирається.
625. З фокуса параболи у 2 = 12х під гострим кутом α до осі Ох спрямований промінь світла. Відомо, що tgα = 3/4. Дійшовши до параболи, промінь від неї відбився. Скласти рівняння прямої, на якій лежить відбитий промінь.
626. Довести, що дві параболи, що мають загальну вісь і загальний фокус, розташований між їх вершинами, перетинаються під прямим кутом.
627. Довести, що якщо дві параболи зі взаємно перпендикулярними осями перетинаються в чотирьох точках, то ці точки лежать на одному колі.