У перших зубчастих передачах зачеплення між колесами здійснювалося за допомогою стрижнів, які врізалися в обід колеса радіально або
паралельно осі обертання. Однак така проста форма зубів не забезпечувала безперервний контакт пов'язаних коліс при їх обертанні. Це проявлялося в нерівномірності обертання веденого колеса, його зупинках в деяких положеннях при роботі передачі. Зуби у вигляді стрижнів, при передачі руху від одного колеса до іншого, відчували ударні навантаження, що призводило до швидкого виходу їх з ладу внаслідок поломок. Ці недоліки стали серйозною перешкодою застосування зубчастих передач в годинникових механізмах і інших машинах.
У другій половині Х1Х століття Робертом Віллісом була сформульована і доведена основна теорема (основний закон) зубчастого зачеплення, що встановлює зв'язок між швидкостями обертання коліс і їх геометричними параметрами.
Найпростіша левередж є трехзвенниймеханізм (рис.6.9), що складається з двох рухомих ланок (зубчастих коліс), що утворюють з нерухомим ланкою дві нижчі кінематичні пари 5-го класу О1 і О2 і одну вищу кінематичну пару 4 - го класу До між
собою. Вища кінематична пара До власне і являє собою зачеплення виступів (зубів) рухомих ланок I і 2.
Рух передається тиском бічній поверхні зуба провідної ланки I на бічну поверхню зуба веденого ланки 2. Ланки обертаються навколо осейО1 і О2. Нехай дотичні між собою точки К1 ланки I і К2 ланки 2 цієї статті не лежать на лінії центрів О1 О2. Вектор швидкості V1 точки К1 перпендикулярний прямій О1 К, що з'єднує К1 з центром обертання, а вектор швидкості V2 точки К2. перпендикулярний прямій О2К.
У точці контакту До профілі мають загальну нормаль NN і загальну дотичну ТТ. Розкладемо вектори швидкостей v1 і v2 на складові по нормалі і по дотичній, відповідно позначивши їх v1 n. v2 n і v1 # 964 ;. v2 # 964 ;. Природна умова безперервності контакту профілів може бути виражено рівністю
v1 n = v2 n (6.1) так як в іншому випадку зуби впроваджувалися б один в одного або розходилися б.
При цьому, у всіх випадках крім одного, коли точка дотику знаходиться на лінії О1 О2. виконується нерівність
що свідчить про відносне ковзанні профілів.
Позначивши кути між векторами швидкостей v1 і v2 і нормаллю NN відповідно через 1 і 2 отримаємо
Опустіміз центрів обертання О1 і О2. перпендикуляри на нормаль NN. Розглянемо отримані трикутники О1 М1 До і О2 М2 К. Уніх
Підставивши ці значення у вираз (6.3) і з огляду на (6.1), отримаємо
де i12 = 1/2-передавальне відношення. прийняте в якості основного кінематичного параметра передаточногомеханізма.
Позначимо Р точку перетину спільного нормалі NN з лінією центрів О1 О2. Ця точка є миттєвим центром відносного обертання ланок і отримала назву полюса зачеплення.
З подоби трикутників О1 М1 Р і О2 М2 Р слід
Таким чином, з огляду на (1.4) і (1.5), можна записати
де знак "+" приймається для внутрішнього зачеплення, що не змінює напрямку обертання, і знак "-" для зовнішнього зачеплення, що змінює напрямок обертання.
Вираз (6.6) є математичною трактуванням основної теореми зачеплення (теореми Вілліса), яка формулюється:
Для збереження безперервного контакту профілів зачеплення необхідно, щоб загальна нормаль до профілів, проведена через точку їх належним чином, ділила міжцентрову відстань на частини, обернено пропорційні кутовим швидкостям.
З основної теореми зачеплення формулюються два основні наслідки.
Якщо i12 = const, то полюс зачеплення Р не повинен міняти свого положення на лінії центрів О1 О2. Центроїдами * відносного руху ланок в цьому випадку є окружності радіусів rw1 = О1 Р і rw2 = О2 Р, звані початковими колами.
Якщо i12 const, співвідношення між величинами відрізків О1 Р і О2 Р. а отже, і становище полюса Р визначається заданою функцією
де 1 - кут повороту ведучої ланки. Центроїди в цьому випадку є криві, відмінні від кіл.
Кут між загальною до профілів зубів нормаллю і прямий, перпенд-кулярной лінії центрів в полюсі зачеплення, називається кутом зачеплення tw.
У полюсі зачеплення Р ковзання сполучених профілів відсутній. У міру віддалення точки До контакту зубів полини зачеплення від полюса швидкість vск. ковзання зростає:
Встановлено, що відношення швидкості ковзання до лінійної швидкості точки розглянутого ланки в напрямку ковзання (vск / v1 або vск / v2)
характеризує знос цієї ланки в даній точці. Для нерухомого ролика (ріс.6.10а) vск / v2 ® ¥ і, відповідно, знос його незрівнянно більше зносу рухомого ролика. Ставлення vск / v1 або vск / v2 називається коефіцієнтом питомого ковзання. Його позначають з відповідними індексами (1 для 1 колеса, 2 для другого колеса).
* Центроїди - геометричне місце миттєвих центрів швидкостей ланок в їх відносному русі.
де ds1 і ds2 - елементарні ділянки шляху точки відповідно контактапо профілів першого і другого зубів при повороті коліс на кути dj1 і dj 2. пов'язані передаточнимотношеніем # 953; 12 = dj1 / dj 2.
З урахуванням властивостей евольвенти (ріс.6.10г) можна записати ds = * dj. де - радіус кривизни евольвенти.
З урахуванням цього виразу візьмуть вигляд:
Графіки коефіцієнтів питомих ковзань 1 і 2. побудовані за даними залежностей, представлені на лінії зачеплення на ріс.6.10 в. При переміщенні точки контакту від точки А до точки В1 змінюється від - ∞ до 1, а 2 - від 1 до - ∞.
В реальній передачі, оскільки точка контакту перемещаетсявпределах активної частини лінії зачеплення А1 В1. коефіцієнти питомих ковзань мають кінцеві значення.
Графіки можна уявити на профілі зуба (ріс.6.10 д). Значення у ніжки зуба більше, ніж у вершини. Цим пояснюється велика інтенсивність зносу поверхні у ніжки зуба.
Шляхом вибору параметрів передачіможно зменшити, збільшити, перемістити активну частину лінії зачеплення, а також змінити величини коефіцієнтів питомих ковзань - зробити, наприклад, іходінаковимі у ніжок зубів обох взаємодіючих коліс.
З урахуванням того, що зуб колеса бере участь в зачепленні менше число раз. чемзуб шестерні, доцільно сопостовлять величини 1 і 2 / i12. Це має особливе значення при большіхпередаточних відносинах.
Для внутрішнього зачеплення графіки коефіцієнтів питомих ковзань дані на ріс.6.10 е
Питомі ковзання для циклоїдальних зачеплення представлені на профілі зуба на ріс.6.10 ж.
З огляду на, що знос контактируемих поверхонь є функцією швидкості ковзання, при конструюванні передачі необхідно вибрати таке розташування сполучених профілів щодо центроид, щоб швидкість ковзання перебувала в допустимих межах.
Найбільш поширеними профілями є профілі, розташовані по обидва боки від центроїди, т.е.імеющіе головку і ніжку зуба.
В даний час використовується ряд зубчастих передач, що відповідають вимогам основної теореми зубчастого зачеплення. До них відносяться евольвентні, циклоїдальні, вартові, цівкові, зачеплення Новікова.
Питання для самоконтролю:
1. У чому сутність основної теореми зубчастого зачеплення '?
2. Що таке полюс зачеплення?
3. Який кут називається кутом зачеплення?
4. Яка окружність називається початковою окружністю?
5. Що є центроїдами відносного руху коліс при постійному передатному відношенні?
6. Чи відбувається прослизання пов'язаних профілейзубьев:
в полюсі зачеплення, в точках контакту, не збігаються з полюсом
7. Від чого залежить швидкість відносного скольженіясопряженнихпрофілей?
8. На який параметр працездатності передачі вліяетвелічінаскорості ковзання?
9. Які форди профілю зубів відповідають основнойтеореме зубчастого