Розглянемо закон розподілу швидкості у вигляді полінома третього ступеня (метод Польгаузена)
Коефіцієнти полінома визначимо з граничних кінематичних і динамічних умов:
Кінематичні граничні умови:
Динамічні граничні умови:
1) при і з першого рівняння системи (7.6) для прикордонного шару отримуємо. але і тоді;
2) при сила тертя стає рівною нулю, т. Е. Дотичні напруження звертаються в нуль, і звідси.
Підставляючи зазначені граничні умови в рівняння (7.11), отримаємо наступну систему рівнянь для визначення коефіцієнтів:
В результаті її рішення визначимо значення коефіцієнтів:. Отже, закон розподілу швидкості по перетину ламинарного прикордонного шару приймає вид
Вираз для отримаємо із закону Ньютона для внутрішнього тертя при ламінарному плині:. З рівняння (7.11а) похідна. звідси:
Обчислимо інтеграли, що входять в інтегральне співвідношення:
Підставивши ці інтеграли в інтегральне співвідношення (7.10), отримаємо звичайне диференціальне рівняння:
Групуючи подібні члени і розділяючи змінні, отримуємо. Після інтегрування маємо наступне:. Значення довільної сталої визначимо з умов на передній кромці пластинки: при товщина прикордонного шару. отже.
У підсумку, після невеликих перетворень отримуємо формулу для розрахунку товщини прикордонного шару:
Як випливає з рівняння (7.13), товщина ламінарного прикордонного шару наростає по параболічного закону. Тоді товщина витіснення і товщина втрати імпульсу для ламінарного прикордонного шару будуть наступні: і.
Введемо в розгляд місцевий коефіцієнт тертя. що є відношенням дотичних напружень до швидкісного напору:
Підставивши вираз (7.12) у вираз (7.14) з урахуванням рівняння (7.13), отримуємо наступне:
Формула (7.15) показує, що місцевий коефіцієнт тертя, маючи максимум поблизу передньої кромки, зменшується при видаленні від неї.
Знайдемо силу тертя, що діє на платівку, з огляду на той факт, що прикордонний шар є на обох сторонах пластинки (див. Рис. 7.6). Запишемо вирази для через коефіцієнт опору тертя:
і через дотичні напруження (або місцевий коефіцієнт тертя):
Прирівнявши праві частини цих виразів, отримаємо залежність для розрахунку коефіцієнта опору тертя плоскої пластинки через місцевий коефіцієнт тертя:
З урахуванням формули (7.15) формула для коефіцієнта опору тертя плоскої пластинки при ламінарному прикордонному шарі приймає вид
У рівнянні (7.17) в якості характерного лінійного розміру в числі Рейнольдса використовується хорда пластинки. т. е..