У кожного трикутника є 4 чудові точки: точка перетину його 3-х висот, точка перетину биссектрис його кутів (центр вписаного кола), точка перетину перпендикулярів, проведених через середини сторін (центр описаного кола) і точка перетину медіан (центр ваги трикутника - саме цю точку зазвичай і називають центром трикутника). У рівностороннього трикутника всі ці 4 точки збігаються. Так як у рівностороннього трикутника всі кути рівні, а сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, кути рівностороннього трикутника рівні 60 °.
г) Побудувати рівносторонній трикутник і його центр.
Будуємо трикутник, у якого сторони рівні, потім знаходимо середини його сторін і з'єднуємо їх з протилежними вершинами (рис 1г).
Рівносторонній трикутник лежить в основі побудови багатьох симетричних фігур і візерунків. Його пропорції проглядаються в нарисах маківок (рис. 2а), арок і куполів (рис. 2б).
д) Побудувати сітку з рівносторонніх трикутників (рис. 2в). Така сітка може служити основою узору.
Для того, щоб побудувати сітку з рівносторонніх трикутників, будуємо трикутник, у якого всі сторони рівні, потім на його стороні, як на підставі, будуємо ще один рівносторонній трикутник. Отримуємо ромб. Продовживши процес, як це показано на малюнку 2в, отримуємо сітку з рівносторонніх трикутників.
Нагадаємо основні властивості ромба - паралелограма, у якого всі сторони рівні. Точка перетину діагоналей ромба ділить їх навпіл (це вірно для всіх паралелограмів). Діагоналі ромба ортогональні один одному і ділять навпіл кути ромба. Гострий кут побудованого ромба дорівнює 60 °, тупий 120 °.
Побудувати таку сітку на картатій папері без циркуля неможливо: відстань між горизонталями (висота рівностороннього трикутника) і довжина сторони трикутника несумірні один з одним - відношення їх довжин є число ірраціональне, його не можна виразити відношенням деяких цілих чисел m і n.
Співвідношення між висотою рівностороннього трикутника і його стороною легко знайти за допомогою теореми Піфагора. При побудові рівностороннього трикутника зі стороною а ми проводили дуги кола радіуса R = а. Отже, АВ = R = а. АС = R = а. АТ = R / 2 = а / 2 і відповідно до теореми Піфагора СО =. . Будь-яке ірраціональне число можна з необхідною точністю замінити на раціональне. На малюнку 3а в якості раціонального наближення для числа взята дріб (точність близько 3%)
Якби їх ставлення було раціональним числом, рівним. то, провівши ряд горизонтальних прямих на відстані m клітин один від одного, і зазначивши на них точки на відстані n клітин один від одного, ми отримали б бажану сітку. На малюнку 3а зображені обидва трикутника - з висотою (жирною рискою), побудований за допомогою циркуля, і з раціональної висотою, рівній 5/6, побудований по клітинах.
Ще піфагорійці (засновник школи піфагорійців Піфагор жив у VI ст. До н. Е.) Відкрили, що є відрізки, для яких не існує загальної міри - такого відрізка, який ціле число разів відкладався б на обох відрізках. Тобто ставлення їх довжина не виражається відношенням цілих чисел. Вони знали, що такою властивістю володіють діагональ квадрата і його сторона. Діагональ квадрата сторона якого дорівнює а. відповідно до теореми Піфагора, дорівнює а (рис. 3б). Незважаючи на подив, яке викликали у древніх подібні об'єкти, вони широко ними користувалися, використовуючи для їх побудови циркуль. Малюнок 3б демонструє, як за допомогою циркуля побудувати число a.
Пропорції на основі числа користувалися великою популярністю в готичної архітектури. Малюнок 3в демонструє побудову так званого «риб'ячого міхура». Це побудова дозволяє отримати рівносторонній трикутник, провести перпендикуляр до цієї прямий і побудувати креслення арки, зображеної на малюнку 2б. Для церковних будівель готичної архітектури характерно відношення довжини будівлі до ширини, яке визначається пропорціями «риб'ячого міхура»: CD: AB =: 1 »1,73: 1 (CD = 2СО =).
При кресленні арок і нарисів куполів використовуються не тільки дуги, центри яких співпадають з кінцями відрізка, як на малюнку 2а, а й дуги, центри яких розташовані всередині або поза відрізка (рис. 4а, б).
Ще в VI ст. до н. е. грецький математик Теєтет обгрунтував ірраціональність всіх чисел виду. де N - ціле число, що не є точним квадратом. На малюнку 4в наведено спосіб послідовного побудови чисел.