Визначення поняття випадкової величини
Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше заздалегідь невідоме значення.
Прикладами можуть служити: втрати і підсосі повітря, ступінь засвоєння кисню, неточності зважування компонентів шихти, коливання хімічного складу сировини в зв'язку з недостатнім грам і т. Д.
Співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями, називається законом розподілу, який кількісно виражається в двох формах.
Мал. 5.1 Функція розподілу (а) і щільність розподілу (б)
Імовірність події, що залежить від значення, називається функцією розподілу випадкової величини:
. (5.1) є неубутна функція (рис. 5.1, а). Значення її при граничних значеннях аргументу рівні: і.
щільність розподілу
Найчастіше використовується інша форма закону розподілу - щільність розподілу випадкової величини, що є похідною функції розподілу:
. (5.2) Тоді ймовірність знаходження величини в інтервалі і можна виразити через щільність розподілу:
. (5.3`) Щільність розподілу є неотрицательная функція (рис. 21, б), площа під кривою розподілу дорівнює одиниці:
. (5.4) Функція розподілу може виражатися через щільність розподілу:
. (5.5) Для вирішення більшості практичних завдань закон розподілу. т. е. повна характеристика випадкової величини, незручний для використання. Тому частіше застосовують числові характеристики випадкової величини, що визначають основні риси закону розподілу. Найбільш поширеними з них є математичне сподівання і дисперсія (або середньоквадратичне відхилення).
Математичне очікування
Математичне сподівання випадкової величини визначається наступним чином
- - можливе значення випадкової величини;
- - ймовірність цього значення.
Математичне сподівання випадкової величини зазвичай оцінюється її середнім арифметичним, яке при збільшенні числа дослідів сходиться до математичного сподівання
. (5.7) де - спостережувані значення випадкової величини.
Важливо відзначити, що в разі, якщо - безперервно змінюється в часі величина (температура зводу, стінки, хімічний склад продуктів горіння), то необхідно брати в якості значення величини значення величини, розділені такими інтервалами у часі, щоб їх можна було розглядати як незалежні досліди . Практично це зводиться до обліку інерційності по відповідних каналах. Способи оцінки інерційності об'єктів будуть розглянуті нижче.
Дисперсія і середньоквадратичне відхилення
Дисперсія визначає розсіювання випадкової величини близько її математичного очікування
. (5.8) Оцінка дисперсії здійснюється за формулою
. (5.9) а середнє відхилення за формулою
коефіцієнт кореляції
Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь лінійного зв'язку між величинами і, т. Е. Тут вже маємо справу з системою випадкових величин. Оцінка коефіцієнт кореляції здійснюється за формулою
Визначення помилок і довірчих інтервалів для характеристик випадкових величин
Для того, щоб розглянутими характеристиками випадкових величин можна було користуватися з певною надійністю, необхідно крім зазначених оцінок обчислити для кожної з них помилки або довірчі інтервали, які залежать від ступеня розкиду, числа дослідів і заданої довірчої ймовірності. Помилка для математичного очікування наближено визначається за формулою
. (5.11) де - критерій Стьюдента; вибирається за таблицями залежно від заданої довірчої ймовірності і числа дослідів (наприклад, при і,).
Таким чином, справжнє значення математичного очікування з ймовірністю знаходиться в довірчому інтервалі
. (5.12) При заданій точності розрахунку і надійності ці ж формули можна використовувати для розрахунку необхідного числа незалежних дослідів.
Подібним чином визначається і помилка коефіцієнт кореляції величин і
. (5.13) Вважається, що лінійна залежність між і дійсно існує, якщо
. (5.14) Наприклад, при залежність між досліджуваними величинами дійсно має місце, якщо
. (5.15) В іншому випадку існування залежності між величинами і недостовірно.
Випадкова величина
Визначення поняття випадкової величини
Форма зв'язку між випадковими величинами визначається лінією регресії, яка б показала, як в середньому змінюється величина
при зміні величини, що характеризують умовним математичним очікуванням величини, що обчислюється за умови, що величина прийняла певне значення. Таким чином, крива регресії на є залежність умовного математичного очікування від відомого значення
. (5.16) де, -параметри рівняння (коефіцієнти).
Зміни випадкової величини обумовлені мінливістю стохастично пов'язаної з нею невипадковою величини, а також інших факторів, що впливають на, але не залежать від. Процес визначення рівняння регресії складається з двох найважливіших етапів: вибору виду рівняння, т. Е. Завдання функції, і розрахунку параметрів рівняння регресії.
Вибір виду рівняння регресії
Вибирається цей вид виходячи з особливостей досліджуваної системи випадкових величин. Одним з можливих підходів при цьому є експериментальний підбір типу рівняння регресії по виду отриманого кореляційного поля між величинами і чи цілеспрямований перебір структур рівнянь і оцінка кожної з них, наприклад, за критерієм адекватності. У разі ж, коли є певна апріорна (додосвідні) інформація про об'єкт, більш ефективним є використання для цієї мети теоретичних уявлень про процеси і типах зв'язків між досліджуваними параметрами. Такий підхід особливо важливий, коли необхідно кількісне опис і визначення причинно - наслідкових зв'язків.
Наприклад, лише маючи деякі уявлення про теорію сталеплавильних процесів, можна робити висновок про причинно - наслідкові зв'язки для залежності швидкості зневуглецювання від витрати вдуваемого в конвертерну ванну кисню або обезсірковуючу здатність шлаку від його основності і окислення. А, виходячи з уявлень про гіперболічному характер залежності вмісту кисню в металі від вмісту вуглецю, можна заздалегідь припустити, що лінійне рівняння залежності швидкості зневуглецювання від інтенсивності продувки в області низьких змістів вуглецю (менше 0,2%) буде неадекватно, і таким чином уникнути кількох етапів експериментального підбору типу рівняння.
Після вибору виду рівняння регресії проводиться розрахунок його параметрів (коефіцієнтів), для чого найчастіше використовується метод найменших квадратів. який буде розглянуто нижче.