ОСІ І асимптотами ГІПЕРБОЛИ
Проведемо пряму через фокуси гіперболи. Ця пряма є віссю симетрії гіперболи. Інша вісь симетрії перпендикулярна до першої і проходить через середину відрізка F1. F2. Точка О перетину осей є центром симетрії; вона називається просто центром гіперболи Перша вісь перетинає гіперболу в двох точках A1 і A2, званих вершинами гіперболи; відрізок A1. A2 називається дійсною віссю гіперболи. Різниця відстаней точки гіперболи A1 до фокусів F1 і F2 повинна дорівнювати m:
в силу симетрії гіперболи; тому А 1 F1 можна замінити А 2 F2, і ми отримаємо
Очевидно, що різниця А 1 F2 -А 2 F2 дорівнює А 1 А 2, т е. Дорівнює довжині дійсної осі гіперболи; Отже, різниця m відстаней будь-якої точки гіперболи до її фкусов (при цьому з більшої відстані слід віднімати менше) дорівнює довжині дійсної осі гіперболи.
Засікти з вершини А 1 (або з A2) другу вісь симетрії гіперболи дугою кола, радіус якої дорівнює половині F1 F2. Знайдемо дві точки В В1 і В2 (рис. 18); відрізок В 1 В 2 називається уявною віссю гіперболи. Побудуємо далі прямокутник РQRS, сторони якого паралельні осях гіперболи і проходять через точки А 1, А 2. В 1 і В 2 і проведемо його діагоналі РК і QS. Продовжуючи їх необмежено, отримаємо дві прямі, звані асимптотами гіперболи. Вони володіють тим дивовижну властивість, що ніде не перетинаються з гіперболою, хоча точки гіперболи наближаються до асимптотам як завгодно близько і тим .бліже, чим далі ці точки відстоять від центру гіперболи. Дуги гіперболи, укладені між двома точками, далекими від центру, виглядають на малюнку майже як відрізок прямої (див. Дугу М 1 М 2 на рис. 18), хоча насправді вони ніде не прямолінійні; просто викривлення їх незначно і тому ледь помітно.
Щоб зобразити приблизно гіперболу на малюнку, не вдаючись до точного побудови за допомогою лінійки і нитки, слід чинити так. Спочатку зображуємо осі симетрії гіперболи; потім відзначаємо на першій з них фокуси F1 і F2 на рівних відстанях від центру, далі відкладаємо по обидві сторони від центру на тій же першій осі відрізки, рівні половині m. т. е. половині заданої різниці відстаней точок гіперболи до її фокусів, і отримуємо вершини A1 і A2 гіперболи; потім наносимо на другий осі зарубками точки В1 і В2, будуємо прямокутник РQRS і, нарешті, проводимо і продовжуємо його діагоналі. Виходить фігура, зображена на рис. 19. Тепер залишається провести від руки дві дуги, симетричні щодо осей, що проходять через
точки A1 і A2. плавно згинаються і все тісніше прилягають до асимптотам РR і QS.