Примітка. Це урок з рішеннями завдань з геометрії (розділ стереометрія, конус). Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі.
Завдання.
У циліндр вписано кулю і конус, причому висота циліндра дорівнює діаметру його заснування.
Знайти відношення обсягу конуса до обсягу кулі, і до обсягу циліндра.
Рішення.
Для вирішення завдання скористаємося формулами знаходження обсягу кулі, циліндра і конуса:
Врахуємо, що за умовою задачі висота циліндра, а, відповідно і конуса, рівні діаметру кулі, що випливає з побудови згідно з умовою. Тобто куля стосується обох підстав циліндра в їх центрі. З чого запишемо:
h = 2R
Звідки
Vціліндра = πR 2 h = πR 2 2R = 2πR 3
Vшара = 4 / 3πR 3
Vконуса = 1 / 3πR 2 h = 1 / 3πR 2 2R = 2 / 3πR 3
Таким чином, співвідношення обсягу конуса до обсягу кулі дорівнюватиме:
Vконуса / Vшара = 2 / 3πR 3/4 / 3πR 3 = 2/3 / 4/3 = 1/2
А співвідношення обсягу конуса до об'єму циліндра дорівнюватиме:
Vконуса / Vшара = 2 / 3πR 3 / 2πR 3 = 2/3 / 2 = 1/3
Завдання.
Обсяг конуса дорівнює 27. На висоті конуса лежить точка і ділить її у відношенні 2: 1 починаючи з вершини. Через точку проведено розтин, яке є підставою меншого конуса з тієї ж вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.
Рішення.
Звернемо увагу, що трикутники AOB і COD - подібні. З умови задачі визначимо коефіцієнт подібності як 2: 3.
Обсяг конуса знаходиться за формулою, зазначеною в попередній задачі.
Vконуса = 1 / 3πR 2 h = 27 (за умовою)
Тоді обсяг малого конуса буде дорівнює
Vмал.конуса = 1 / 3π (2 / 3R) 2 (2 / 3h)
тобто
Vмал.конуса = 1 / 3π 4/9 R 2 2/3 h
Vмал.конуса = 8/27 * 1 / 3π R 2 h
а так як ми знаємо, що 1 / 3π R 2 h = 27 (див. вище), то
Vмал.конуса = 8/27 * 27 = 8
Відповідь. обсяг малого конуса дорівнює 8