I.Коордінати центру ваги.
Нехай на площині Oxy дана система матеріальних точок
Твори xi mi і yi mi називаються статичними моментами маси mi щодо осей Oy і Ox.
Позначимо через xc і yc координати центру ваги даної системи. Тоді координати центра ваги описаної матеріальної системи визначаються формулами:
Ці формули використовуються при знаходженні центрів тяжіння різних фігур і тіл.
1.Центр ваги плоскої фігури.
Нехай дана фігура, обмежена лініями y = f1 (x), y = f2 (x), x = a, x = b, являє собою матеріальну плоску фігуру. Поверхневою щільністю, тобто масу одиниці площі поверхні, будемо вважати постійною і рівною # 100; для всіх частин фігури.
Розіб'ємо цю фігуру прямими x = a, x = x1. x = xn = b на смужки ширини # 68; x1, # 68; x2. # 68; xn. Маса кожної смужки буде дорівнює добутку її площі на щільність # 100 ;. Якщо кожну смужку замінити прямокутником (рис.1) з підставою # 68; xi і висотою f2 ( # 120; ) -f1 ( # 120; ), Де # 120; , То маса смужки буде наближено дорівнює
Наближено центр ваги цієї смужки буде знаходитися в центрі відповідного прямокутника:
Замінюючи тепер кожну смужку матеріальною точкою, маса якої дорівнює масі відповідної смужки і зосереджена в центрі ваги цієї смужки, знайдемо наближене значення центру ваги всієї фігури:
Переходячи до межі при, отримаємо точні координати центру ваги даної фігури:
Ці формули справедливі для будь-якої однорідної (тобто має постійну щільність у всіх точках) плоскої фігури. Як видно, координати центру тяжіння не залежать від щільності # 100; фігури (в процесі обчислення # 100; скоротилося).
2. Координати центра ваги плоскої фігури
У попередньому розділі зазначалося, що координати центру ваги системи матеріальних точок P1. P2. Pn c масами m1. m2. mn визначаються за формулами
У межі при інтегральні суми, що стоять в чисельнику і знаменниках дробів, перейдуть в подвійні інтеграли, таким чином виходять точні формули для обчислення координат центра ваги плоскої фігури:
Ці формули, виведені для плоскої фігури з поверхневою щільністю 1, залишаються в силі і для фігури, що має будь-яку іншу, постійну у всіх точках щільність # 103; .
Якщо ж поверхнева щільність змінна:
то відповідні формули будуть мати вигляд
називаються статичними моментами плоскої фігури D щодо осей Oy і Ox.
Інтеграл висловлює величину маси розглянутої фігури.
3.Теореми гульдена.
Площа поверхні, отриманої при обертанні дуги плоскої кривої навколо осі, що лежить в площині цієї кривої і не перетинає її, дорівнює довжині дуги кривої, помноженої на довжину окружності, описаної центром ваги дуги.
Обсяг тіла, отриманого при обертанні плоскої фігури навколо осі, не перетинає її і розташованої в площині фігури, дорівнює добутку площі цієї фігури на довжину окружності, описаної центром ваги фігури.
II.Прімери.
1) Умова: Знайти координати центра ваги півкола X 2 + Y 2 = a 2. розташованої над віссю Ox.
Рішення: Визначимо абсциссу центру ваги:
Знайдемо тепер ординату центра ваги:
2) Умова: Визначити координати центра ваги сегмента параболи y 2 = ax, який відсікається прямою, х = а (рис. 2)
Рішення: В даному випадку тому
(Так як сегмент симетричний щодо осі Ox)
3) Умова: Визначити координати центра ваги чверті еліпса (рис. 3)
вважаючи, що поверхнева щільність у всіх точках дорівнює 1.
Рішення: За формулами (*) отримуємо:
Знайти координати центра ваги дуги ланцюгової лінії.
1Так як крива симетрична відносно осі Oy, то її центр ваги лежить на осі Oy, тобто Xc = 0. Залишається знайти. маємо тоді
Користуючись теоремою гульдена знайти координати центру ваги чверті кола
При обертанні чверті кола навколо осі Ох отримаємо полушар, обсяг якого дорівнює
Згідно з другою теоремою гульдена,
Центр тяжкості чверті кола лежить на осі симетрії, тобто на бісектрисі I координатного кута, а тому