Можна показати, що поверхнева щільність зв'язаних зарядів
де Pn - проекція поляризованности на зовнішню нормаль до поверхні діелектрика (рис. 1.9). Також можна показати, що об'ємна щільність зв'язаних зарядів визначається виразом
Іншими словами, об'ємна щільність зв'язаних зарядів дорівнює взятій з протилежним знаком дивергенції поляризованности діелектрика. Мал. 1.10 допомагає зрозуміти зміст виразу (1.46). Точки, в яких дивергенція поляризованности більше нуля, служать джерелами вектора поляризованности - з цих точок лінії Р розходяться. Це означає, що в цих точках з'являється некомпенсований негативний пов'язаний заряд.
Електричне поле може створюватися як сторонніми, так і пов'язаними зарядами. Це означає, що можна записати
З урахуванням виразу (1.46)
звідки випливає, що
Вираз в дужках (1.48) називають вектором електричного зміщення або електричної індукцією D.
З урахуванням виразу (1.42), отримаємо
де e = 1 + c - називається (відносної) діелектричної проникністю середовища.
З рівняння (1.50) випливає, що вектор D збігається за напрямком з вектором E. Це справедливо тільки для ізотропних середовищ. У загальному випадку, для анізотропних діелектриків, вектори D і E неколінеарна.
Відповідно до формулами (1.48) і (1.49) отримали, що джерелами вектора електричної індукції можуть бути тільки сторонні заряди:
Проинтегрируем рівняння (1.51) по деякому об'єму V:
Вираз зліва на підставі теореми Остроградського-Гаусса дорівнює потоку вектора електричного зміщення через поверхню, що обмежує обсяг V:
а інтеграл від щільності зарядів за обсягом можна замінити сумою ув'язнених в цьому обсязі зарядів:
Прирівнюючи праві частини останніх двох рівностей, отримаємо теорему Гаусса для електричного зміщення: потік електричного зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі ув'язнених всередині цієї поверхні сторонніх зарядів.
Підкреслимо, що вектор D - допоміжний вектор, що описує електричне поле. Основною характеристикою є напруженість електричного поля.