Визначення. Функція називається нескінченно малою при. якщо.
Визначення. Функція називається нескінченно великою при. якщо.
Теорема «Про зв'язок меж з нескінченно малими». існує і дорівнює () тоді і тільки тоді, коли. де - нескінченно мала функція при.
Властивості нескінченно малих функцій
1. Алгебраїчна сума кінцевого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.
2. Проізведеніеконечного числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.
3. Твір обмеженою функції на нескінченно малу функцію є нескінченно мала функція.
Теорема «Про зв'язок нескінченно малих і нескінченно великих». Величина, зворотна нескінченно малої функції, є нескінченно велика функція.
Зауваження. За визначенням вважають: якщо. то. . . . . .
Порівняння нескінченно малих функцій
Нехай і - нескінченно малі функції при.
Якщо. то кажуть, що більш високого порядку малості, ніж при.
Якщо. то кажуть, що нижчого порядку малості, ніж при.
Якщо. то кажуть, що k -го порядку малості щодо прі. При кажуть, що і одного порядку малості.
Якщо. то кажуть, що і еквівалентні нескінченно малі при.
1) Порівняємо і при.
Отже, і нескінченно малі функції, одного порядку малості при.
2) Порівняємо і при.
Отже, нескінченно мала нижчого порядку, ніж
3) Визначити порядок малості щодо при
Таким чином, нескінченно мала порядку щодо прі.
На основі розглянутих чудових меж можна вказати ряд еквівалентних нескінченно малих при:
Для нескінченно малих функцій справедливі наступні твердження:
1) Межа відносини двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо будь-яку з них замінити їй еквівалентної;
2) Різниця двох еквівалентних нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція вищого порядку малості в порівнянні з кожної з них;
3) Якщо різниця двох нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція в порівнянні з кожної з них, то ці нескінченно малі функції еквівалентні.
Неперервність функції в точці
Безперервність основних елементарних функцій
Визначення. Функція називається неперервною в точці. якщо вона визначена в деякому околі цієї точки і в самій точці, і існує межа при. що дорівнює значенню функції в точці. .
називаються основними елементарними функціями.
Будь-яка функція, явно задана за допомогою формули, що містить кінцеве число арифметичних операцій і суперпозиций основних елементарних функцій, називається елементарною функцією.
Теорема «Про безперервності елементарних функцій». Всі функції, що входять в клас елементарних функцій, безперервні усюди в області їх визначення.