визначення
Многочлен від змінних над полем називається непріводімим над, якщо він є простим елементом кільця, тобто не є константою і не представимо у вигляді твору, де і - многочлени з коефіцієнтами з, відмінні від констант.
Многочлен називається абсолютно не приводиться. якщо він не приводимо над алгебраїчним замиканням поля коефіцієнтів. Абсолютно многочлени однієї змінної - це многочлени 1-го ступеня і тільки вони. У разі декількох змінних існують абсолютно многочлени як завгодно високого ступеня - наприклад, будь-який многочлен виду
Коріння неприводимого многочлена називаються зв'язаними.
- Кільце многочленів факторіальною. будь-який многочлен розкладається в добуток незвідних многочленів, причому це розкладання визначено однозначно з точністю до постійних множників.
- Над полем дійсних чисел будь непріводімий многочлен однієї змінної має ступінь 1 або 2, причому многочлен 2-го ступеня неприводим тоді і тільки тоді, коли він має негативний дискриминант.
- Над будь-яким полем алгебраїчних чисел існують не приводиться многочлен будь-якою наперед заданою мірою; наприклад, многочлен, де і - деякий просте число, не приводиться в силу критерію Ейзенштейна.
- Якщо - кінцеве поле з елементів, а - натуральне число, то існує хоча б один не приводиться многочлен ступеня n з.
- Припустимо - целозамкнутое кільце з полем приватних (наприклад і) і - багаточлен однієї змінної зі старшим коефіцієнтом 1, тоді в, причому і мають старший коефіцієнт 1, то.
- Редукційний критерій неприводимости. Нехай заданий гомоморфізм областей цілісності. Якщо ступінь многочлена збігається зі ступенем многочлена і неприводим над полем приватних області, то не існує розкладання, де і відмінні від константи.
- Наприклад, многочлен зі старшим коефіцієнтом простий в (і, отже, не приводиться в), якщо простий многочлен, отриманий з редукцією коефіцієнтів по модулю простого числа.
Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості непріводімих многочленів:
, , , , .
Над кільцем цілих чисел. перші два многочлена - приводяться, останні два - Непріводімие. (Третій взагалі не є многочленом над цілими числами).
Над полем раціональних чисел. перші три многочлена є приводяться, двоє інших - непріводімимі.
Над полем дійсних чисел. перші чотири многочлена - приводяться, але є непріводімим. В поле дійсних чисел непріводімимі є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів. Наприклад розкладання многочлена в поле дійсних чисел має вигляд. Обидва множники в даному розкладанні є непріводімимі многочленами.
Над полем комплексних чисел. всі п'ять многочленів - наводяться. Фактично, кожен відмінний від константи багаточлен над може бути розкладений на множники виду:
де - ступінь многочлена. - старший коефіцієнт, - коріння. Тому єдиними непріводімимі многочленами над є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).
кінцеві поля
Багаточлени з цілочисельними коефіцієнтами, які є непріводімимі над полем можуть бути приводяться над кінцевим полем. Наприклад, многочлен є непріводімим над, але над полем з двох елементів ми маємо:
література
- Ван-дер-Варден Б. Л. # 32; Алгебра. - М. Мир, 1976. - 648 с.
- Ленг С. # 32; Алгебра. - М. Мир, 1968.
- Зарисского О. Самюель П. # 32; Коммутативная алгебра. - М. ІЛ, 1963.