Якщо при наявності схеми Бернуллі число випробувань n велике, а ймовірність настання події p мала, то замість формули Бернуллі використовують формулу Пуассона:
Тут ви можете знайти таблицю розподілу Пуассона. В Excel значення можна обчислити за формулою = ПУАССОН (k; # 955 ;; 0)
Імовірність випуску бракованого свердла (підвищеної крихкості) дорівнює 0,02. Свердла укладають в коробки по 100 штук. Визначити ймовірність того, що число бракованих свердел коробці не перевищує трьох.
15 Дискретні випадкових величин.
Під випадковою величиною розуміється величина, яка в результаті досвіду з випадковим результатом приймає те чи інше значення. Можливі значення випадкової величини утворюють безліч # 926 ;, яке називається безліччю можливих значень випадкової величини. Позначення випадкової величини: X, Y, Z; можливі значення випадкової величини: x, y, z.
Залежно від виду безлічі # 926; випадкові величини можуть бути дискретними і недискретность. СВ Х називається дискретною, якщо безліч її можливих значень # 926; - рахункове або кінцеве. Якщо безліч можливих значень СВ незліченно, то така СВ є недискретность.
У теоретико-множинної трактуванні основних понять теорії ймовірностей випадкова величина Х є функція елементарного події: X = # 966; (# 969;), де # 969; - елементарна подія, що належить простору # 937 ;. При цьому безліч # 926; можливих значень СВ Х складається з усіх значень, які приймає функція # 966; (# 969;).
Ряд розподілу дискретної випадкової величини.
Найбільш просту форму можна надати закону розподілу дискретної випадкової величини. Поруч розподілу дискретної випадкової величини називається таблиця, в якій перераховані в порядку зростання всі можливі значення випадкової величини X: x1. x2. ..., xn. ... і ймовірності цих значень p1. p2. ..., pn. ..., де pi = Pi> - ймовірність того, що в результаті досвіду СВ Х прийме значення xi (i = 1,2, ..., n, ...).
Ряд розподілу записується у вигляді таблиці:
Так як події,, ... несумісні і утворюють повну групу, то сума всіх ймовірностей, що стоять в нижньому рядку дорівнює одиниці:
Функція розподілу та її властивості.
Найбільш загальною формою закону розподілу, придатної для всіх випадкових величин (як дискретних, так і недискретні) є функція розподілу.
Функцією розподілу випадкової величини X називається ймовірність того, що вона прийме значення менше, ніж аргумент функції x:
Геометрично функція розподілу інтерпретується як імовірність того, що випадкова точка X потрапить лівіше заданої точки X (рис. 5.1). З геометричної інтерпретації наочно можна вивести основні властивості функції розподілу.
2. F (+ ¥) = 1. (5.3)
- F (x) - неубутна функція свого аргументу, тобто при x1
Доказ цієї властивості ілюструється рис. 5.2.
Уявімо подія C = 2> як суму двох несумісних подій С = A + B, де A = 1> і B = 1 £ X
За правилом додавання ймовірностей
4. P (# 945; £ X <β) = F(β) - F(α), для "[α,β[ÎR. (5.4)
Доказ цієї властивості випливає з попереднього докази.
Імовірність того, що випадкова величина Х в результаті досвіду потрапить на ділянку від # 945; до # 946; (включаючи # 945;) дорівнює приросту функції розподілу на цій ділянці.
Таким чином, функція розподілу F (x) будь випадкової величини є неубутна функція свого аргументу, значення якої укладено між 0 і 1: 0≤F (x) ≤1, причому F (-∞) = 0, F (+ ∞) = 1.
16. Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій плюс подвоєний їх кореляційний момент.
17. Числові характеристики дискретних випадкових величин
Числа, які описують випадкову величину сумарно, називають числовими характеристиками випадкової величини.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності:
,
де - можливі значення випадкової величини. а - відповідні ймовірності.
Зауваження. Вищенаведена формула справедлива для дискретної випадкової величини, число можливих значень якої звичайно. Якщо ж випадкова величина має рахункове число можливих значень, то для знаходження математичного очікування використовують формулу:
,
причому це математичне очікування існує при виконанні відповідного умови збіжності числового ряду в правій частині рівності.
Імовірнісний сенс математичного очікування: математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.
18.Непреривная випадкова величина. Щільність розподілу випадкової величини та її властивості.
Випадкова величина Х називається безперервної, якщо її функція розподілу F (x) є безперервна, кусочно-диференційована функція з безперервною похідною.
Так як для таких випадкових величин функція F (x) ніде не має стрибків, то ймовірність будь-якого окремого значення неперервної випадкової величини дорівнює нулю
P = 0 для будь-якого # 945 ;.
В якості закону розподілу, що має сенс тільки для безперервних випадкових величин існує поняття щільності розподілу або щільності ймовірності.
Ймовірність влучення неперервної випадкової величини X на ділянку від x до x + Dx дорівнює приросту функції розподілу на цій ділянці:
Щільність ймовірності на цій ділянці визначається відношенням
Щільністю розподілу (або щільністю ймовірності) неперервної випадкової величини X в точці x називається похідна її функції розподілу в цій точці і позначається f (x). Графік щільності розподілу називається кривою розподілу.
Нехай є точка x і прилеглий до неї відрізок dx. Ймовірність влучення випадкової величини X на цей інтервал дорівнює f (x) dx. Ця величина називається елементом ймовірності.
Ймовірність влучення випадкової величини X на довільний ділянку [a, b [дорівнює сумі елементарних ймовірностей на цій ділянці:
У геометричній інтерпретації P дорівнює площі, обмеженої зверху кривою щільності розподілу f (x) і спирається на ділянку (# 945;, # 946;) (рис. 5.4).
Це співвідношення дозволяє висловити функцію розподілу F (x) випадкової величини X через її щільність:
У геометричній інтерпретації F (x) дорівнює площі, обмеженої зверху кривою щільності розподілу f (x) і лежить лівіше точки x (рис. 5.5).
Основні властивості щільності розподілу:
- Щільність розподілу неотрицательна: f (x) ³ 0.
Це властивість випливає з визначення f (x) - похідна неубивающей формальної процедури не може бути негативною.
2. Умова нормування: Це властивість випливає з формули (5.8), якщо покласти в неї x = ∞.
Геометрично основні властивості щільності f (x) інтерпретуються так:
- вся крива розподілу лежить не нижче осі абсцис;
- повна площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.
19.Чісловие характеристики випадкових величин.
Закони розподілу випадкової величини є вичерпними характеристиками. Кожен закон розподілу являє собою деяку функцію, вказівка якої повністю описує випадкову величину з імовірнісної точки зору.
Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями; часто досить буває тільки окремі числові параметри, що характеризують окремі риси розподілу; наприклад, середнє значення або розкид випадкової величини ( «ступінь випадковості»). Такі числа називаються числовими характеристиками випадкової величини.
Розглянемо випадкову величину Y, що залежить функціонально від випадкової величини X з відомим законом розподілу F (x): Y = # 966; (X).
Якщо Х - дискретна випадкова величина і відомий її ряд розподілу має вигляд:
Тоді математичне сподівання випадкової величини Y визначається так:
Якщо випадкова величина X неперервна і має щільність розподілу f (x), то замінюючи у формулі (9.1) ймовірності pi елементом ймовірності f (x) dx, а суму - інтегралом, отримуємо:
Для змішаної випадкової величини вираз для математичного очікування перетвориться до виду:
Співвідношення (9.1), (9.2) і (9.3) - загальне поняття математичного очікування, що дозволяє обчислити математичне сподівання для невипадкових функцій випадкового аргументу.
20 Біноміальний розподіл.
Дискретна випадкова величина X має біномінальної розподіл, якщо її закон розподілу описується формулою Бернуллі:
де p - параметр розподілу
Розподіл загасити від двох параметрів п і р.
На практиці біномінальної розподіл виникає при наступних умовах. Нехай проводиться серія з п випробуванні, в кожному з яких деяка подія з'являється з вероятностьюр. Випадкова величина X, що дорівнює числу наступів події в п дослідах, має біномінальної розподіл.
Числові характеристики: М [Х] = n, D [X] = npq.
Назва пояснюється тим, що праву частину рівності можна розглядати як загальний член розкладання Біному Ньютона:
,
Дискретна випадкова величина X має геометричний розподіл, якщо ймовірності її можливих значень 0,1, ...., K. визначаються так:
де p - параметр розподілу, а q = 1-p.