Момент імпульсу тіла відносно рухомого центру мас.
До сих пір, розглядаючи момент імпульсу твердого тіла, ми визначали його щодо деякої нерухомої в лабораторній системі точки (наприклад, точки закріплення тіла). У багатьох задачах динаміки це виявляється незручно. Наприклад, вирішуючи завдання про диск, скочується з похилої площини, логічно розглядати момент імпульсу диска щодо його центру мас, а не щодо точки, що належить похилій площині.
Розглянемо, як будуть пов'язані моменти імпульсу тіла, певні щодо деякої нерухомої точки О і відносно центру мас тіла О, що рухається довільним чином (рис. 2.19).
Нехай і - радіуси-вектори елементарної маси тіла щодо точок - радіус-вектор, проведений з
Ці вектори пов'язані між собою очевидним співвідношенням
Момент імпульсу тіла відносно точки (див. Формулу (2.1))
Скористаємося очевидними равенствами
(М - маса всього тіла);
оскільки точка Про збігається з центром мас тіла. З урахуванням (2.56 - 2.58) з (2.55) отримаємо
де - повний імпульс тіла в лабораторній системі - швидкість маси щодо центру мас.
Якщо момент імпульсу тіла відносно його центру мас (відносний момент імпульсу) визначити як
то з (2.59) слід шукане співвідношення
Ще раз підкреслимо, що при визначенні моменту імпульсу тіла відносно його центру мас (величина слід брати відносні швидкості всіх точок тіла, тобто швидкості точок тіла відносно центру мас, вважаючи його як би нерухомим.
Зауваження. Співвідношення (2.61) дозволяє також зв'язати моменти імпульсу щодо двох паралельних осей, одна з яких нерухома, а інша проходить через центр мас тіла, що рухається.
Звернемося до прикладів.
1. Момент імпульсу циліндра, скачується без прослизання з похилою площиною, щодо його осі дорівнює - момент інерції циліндра відносно його осі, - миттєва кутова швидкість обертання циліндра). Момент імпульсу того ж циліндра щодо миттєвої осі обертання, що проходить через точку дотику циліндра і площини, буде дорівнює
, де - момент інерції циліндра відносно миттєвої осі обертання, - радіус циліндра.
2. Якщо кулі маси повідомити швидкість забезпечує рух по круговій орбіті навколо гравітаційного силового центру О, то він буде рухатися поступально а його момент імпульсу відносно (рис. 2.20а). Якщо при цьому куля буде обертатися навколо власної осі з кутовою швидкістю як показано на рис. 2.20б, то постійний щодо точки Про момент імпульсу кулі буде дорівнює
Розрахунки показують, що момент імпульсу планет Сонячної системи щодо власного центру мас значно менше їх орбітального моменту імпульсу. Орбіти всіх планет лежать приблизно в одній площині, так що їх орбітальні моменти імпульсу складаються арифметично. Цікаво, що всі дев'ять планет рухаються навколо Сонця в одному і тому ж напрямку, так що сумарний момент імпульсу Сонячної системи відмінний від нуля.