Якщо в задачі розглядається не одна матеріальна точка, а система точок, то момент імпульсу системи дорівнює векторній сумі моментів імпульсів всіх матеріальних точок системи
де всі вектори визначені відносно однієї і тієї ж точки заданої системи відліку.
Сума моментів всіх внутрішніх сил буде дорівнює нулю, так як сили, з якими взаємодіють будь-які дві матеріальні точки системи, задовольняють третьому закону Ньютона і діють вздовж однієї прямої, тому їх плечі однакові, а напрямки протилежні.
Закон зміни моменту імпульсу для системи тіл має вигляд
тобто зміна моменту імпульсу системи дорівнює сумі моментів всіх зовнішніх сил відносно тієї ж точки.
Якщо сума моментів всіх зовнішніх сил дорівнює нулю, то момент імпульсу системи зберігається
Як і в випадку закону збереження імпульсу, момент імпульсу незамкненою системи зберігається за умови що:
1) сумарний момент зовнішніх сил дорівнює нулю,
2) якщо момент зовнішніх сил щодо точки відмінний від нуля, але щодо деякої осі дорівнює нулю, то момент імпульсу відносно цієї осі зберігається,
3) якщо дія зовнішніх сил обмежена в часі (удар, вибух), то зміною моменту імпульсу за час удару можна знехтувати.
Раніше було показано, що в деяких випадках рішення задач, пов'язаних з імпульсом системи, спрощується, якщо їх вирішувати в системі центру мас (розділ IV). Рішення задач на момент імпульсу також спрощується в цій системі відліку. Це пов'язано з тим, що повний імпульс системи частинок в системі центру мас дорівнює нулю, і тому момент імпульсу системи не залежить від вибору точки, відносно якої його визначають. Тому цей момент називають власним моментом імпульсу і позначають. Момент імпульсу системи частинок в довільній системі складається з її власного моменту імпульсу і моменту. обумовленого рухом системи частинок як цілого
6.4. Кулька маси m. рухався зі швидкістю випробував пружне лобове зіткнення з одним з кульок покоившейся жорсткої гантелі (рис.52). Маса кожної кульки гантелі дорівнює m / 2. довжина легкого з'єднувального стрижня гантелі - l. Вважаючи кульки матеріальними точками, знайдіть:
а) швидкість кожної кульки відразу після зіткнення,
б) * швидкість центру мас системи після зіткнення,
в) * власний момент імпульсу гантелі (в системі центру мас).
Рішення. а) Розглянемо момент імпульсу системи відносно точки зіткнення (кулька 2 рис.52). Щодо цієї точки момент імпульсу системи до зіткнення дорівнює нулю. Вже згадана система є замкненою, тому момент імпульсу зберігається і залишається рівним нулю. Отже, після зіткнення швидкість нижнього кульки гантелі дорівнює нулю (тому що плече імпульсу 3 кульки не дорівнює нулю, а плечі імпульсів 1 і 2 кульок дорівнюють нулю).
Оскільки удар абсолютно пружний, імпульс і кінетична енергія системи також зберігаються:
де і - швидкості відлетіло кульки (кульку 1 рис.52) і верхнього кульки гантелі (кулька 2 рис.52) відразу після удару. Вирішуючи спільно рівняння (1) і (2), знайдемо швидкість верхнього кульки гантелі і швидкість відлетіло кульки відразу після удару
б) Момент імпульсу системи частинок складається з її власного моменту імпульсу і моменту, обумовленого рухом системи частинок як цілого:
де і - радіус-вектор центра мас і сумарний імпульс системи частинок відповідно. Так як момент імпульсу системи після зіткнення дорівнює нулю, з рівняння (3) випливає, що власний момент імпульсу гантелі після зіткнення дорівнює:
Центр мас гантелі після зіткнення (також як і до зіткнення) знаходиться посередині з'єднувального стрижня, тобто . швидкість її центру мас
в) З огляду на, що отримаємо шукану величину:
6.5. Гладкий горизонтальний диск обертають щодо Землі, обертання якої не враховується, з кутовою швидкістю навколо вертикальної осі, що проходить через його центр - точку 0. З цієї точки в момент пустили невелику шайбу масою m із швидкістю. Знайдіть момент імпульсу шайби щодо точки 0 в системі відліку пов'язаної з диском.
Рішення. Система відліку, пов'язана з обертовим диском, є неінерціальної системою відліку. У цій системі момент імпульсу шайби щодо точки 0 дорівнює
де - швидкість шайби щодо диска. Розкривши векторний добуток, отримаємо
де - кут між векторами і. З умови задачі відома швидкість шайби щодо Землі, яка є інерціальній системою відліку -. Запишемо зв'язок між швидкостями шайби в цих системах відліку
Висловимо з останнього виразу і визначимо її напрямок (рис.53). З малюнка видно, що вектор є діагоналлю прямокутника, значить. Враховуючи що . знайдемо момент імпульсу шайби щодо точки 0 в системі відліку пов'язаної з диском, підставивши знайдені величини в вихідне вираз
А напрямок вектора покажемо на рис.53.
VII. Динаміка твердого тіла