Для кожного з n характеристичних чисел # 955; i (i = 1,2, ..., n) матриці А (в припущенні, що всі вони різні) можна отримати рішення рівняння [# 955; E-A] x = 0. Це векторно-матричне рівняння можна представити в вигляді системи рівнянь
Вектори xi. що представляють собою вирішення даної системи рівнянь, є характеристичними векторами матриці A. Оскільки ця система рівнянь однорідна, то і ki xi. де ki - довільна скалярна величина, також служить рішенням. Тому ця система рівнянь визначає однозначно тільки напрямок кожного з xi.
Матриця, утворена векторами-стовпцями ki xi. називається модальної матрицею. (Модальна - від слова "mode", що означає «частота». Так звані «частоти», що описують динаміку лінійної системи, можуть бути виражені у вигляді складових руху вздовж характеристичних векторів).
При різних характеристичних числах стовпці модальної матриці можуть вибиратися рівними або пропорційними безпідставного одну приєднаної матриці Adj [# 955; E-A].
Це випливає з того факту, що [# 955; E-A] має ранг n - 1. Оскільки визначник | # 955; E-A | = 0 (як ми вже з'ясували), ранг матриці Adj [# 955; E - A ] повинен бути менше n. однак при цьому він не може бути менше n - 1, так як тоді дорівнювали б нулю всі (n - 1) миноров рядки визначника | # 955; E - A |. що, в свою чергу, вимагало б, щоб
Звідси слідує що # 955; i є кратним коренем вихідної системи рівнянь, а це суперечить припущенню про те, що характеристичні числа різні. Таким чином, матриця [# 955; E - A] має ранг (n - 1). тому з визначення приєднаної матриці слід, що стовпці модальної матриці пропорційні безпідставного ненульова одну Adj [# 955; E - A]. З огляду на лінійну залежність стовпців Adj [# 955; E - A] для даного # 955; i вибір кожного # 955; i визначає тільки один стовпець модальної матриці.
Приклад. Знайти характеристичні числа і модальну матрицю, відповідну матриці А:
Щоб знайти модальну матрицю, необхідно в приєднану матрицю підставити значення власних (характеристичних) чисел.
при # 955; 1 = 1прісоедіненная матриця дорівнює
при # 955; 2 = - 2прісоедіненная матриця дорівнює
при # 955; 3 = 3прісоедіненная матриця дорівнює
Оскільки характеристичні вектори єдиним чином визначають тільки напрям, то помножені на скалярну величину, вони також будуть задовольняти рівняння
Отже, модальна матриця має вигляд:
Кожен стовпець даної модальної матриці служить характеристичним вектором в одновимірному векторному просторі. Три стовпці модальної матриці утворюють базис у відповідному тривимірному векторному просторі.
Вище розглядалася модальна матриця при різних характеристичних числах А. В разі кратних характеристичних чисел і несиметричною А визначення незалежних модальних стовпців не очевидно, так як немає однозначної відповідності між порядком кратності кореня характеристичного рівняння і дефектом відповідної характеристичної матриці [# 955; E-A] . Однак і в цьому випадку питання побудови модальної матриці вирішується позитивно, хоча і більш складно.