Продовжуємо розбирати готові відповіді по теорії меж і сьогодні зупинимося тільки на разі, коли змінна в функції або номер в послідовності прямує до нескінченності. Інструкція по обчисленню межі при змінної прагне до нескінченності приведена раніше, тут тільки зупинимося на окремих випадках, які не є всім очевидними і простими.
Приклад 35. Маємо послідовність у вигляді дробу, де в чисельнику і знаменнику знаходяться кореневі функції.
Потрібно знайти межа при номері прагне до нескінченності.
Тут розкривати ірраціональності в чисельнику не потрібно, а тільки уважно проаналізувати коріння і знайти де міститься більш висока ступінь номера.
У першому коріння чисельника маємо множником n ^ 4. тобто n ^ 2 можемо винести за дужки.
Теж саме проробимо зі знаменником.
Далі оцінюємо значення підкореневих виразів при граничному переході.
Отримали ділення на нуль, що є неправильно в шкільному курсі, але в граничному переході це допустимо.
Тільки з поправкою, "щоб оцінити куди прагне функція".
Тому наведену запис не всі викладачі можуть трактувати правильною, хоча і розуміють, що результуючий преде від цього не зміниться.
Давайте розглянемо відповідь, складений за вимогами викладачів згідно теорією.
Для спрощення оцінимо тільки головні доданкі під коренем
Далі в чисельнику ступінь дорівнює 2, в знаменнику 2/3. отже чисельник швидше зростає, а значить межа прямує до нескінченності.
Його знак залежить від множників при n ^ 2, n ^ (2/3). тому він позитивний.
Приклад 36. Розглянемо приклад межі на розподіл показових функцій. Таких прикладів на практичних розглядається мало, тому не всі студенти з легкістю бачать, як розкривати невизначеності, що виникають.
Максимальний множник для чисельника і знаменника дорівнює 8 ^ n. на нього і спрощуємо
Далі оцінюємо внесок кожного доданка
Складові 3/8 прагнуть до нуля при змінної направляюейся до нескінченності, оскільки 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).
Приклад 37. Межа послідовності з факторіалами розкривається розпісанням факторіала до найбільшого спільного множника для чисельника і знаменника.
Далі на нього скорочуємо і оцінюємо ліміт за значенням показників номера в чисельнику і знаменнику.
У нашому прикладі знаменник швидше росте, тому межа дорівнює нулю.
Тут використана наступне
властивість факторіала.
Приклад 38. Чи не застосовуючи правила Лопіталя порівнюємо максимальні показники змінної в чисельнику і знаменнику дробу.
Так як знаменник містить старший показник змінної 4> 2 то і зростає він швидше.
Звідси робимо висновок, що межа функції прагне до нуля.
Приклад 39. Відкриваємо особливість виду нескінченність розділити на нескінченність шляхом винесення x ^ 4 з чисельника і знаменника дробу.
В результаті граничного переходу отримаємо нескінченність.
Приклад 40. Маємо поділ поліномів, потрібно визначити межу при змінної прагне до нескінченності.
Старший ступінь змінної в чисельнику і знаменнику дорівнює 3, це означає що межа існує і дорівнює стало.
Винесемо x ^ 3 і виконаємо граничний перехід
Приклад 41. Маємо особливість типу одиниця в ступені нескінченність.
А це означає, що вираз в дужках і сам показник треба звести під другу важливу кордон.
Розпишемо чисельник, щоб виділити в ньому вираз ідентичне знаменнику.
Далі переходимо до вираження, що містить одиницю плюс доданок.
В ступеня потрібно виділити множником 1 / (доданок).
Таким чином отримаємо експоненту в ступеня межі дробової функції.
Для раскрітія особливості використовували другий межа:
Приклад 42. Маємо особливість типу одиниця в ступені нескінченність.
Для її розкриття слід звести функцію під другий замечатеьний межа.
Як це зробити докладно показано в наведеній далі формулою
Подібних завдань Ви можете знайти дуже багато. Їх суть в тому, щоб в показнику отримати необхідний рівень, а він дорівнює зворотному значенню доданка в дужках при одиниці.
Таким методом отримуємо експоненту. Подальше обчислення зводиться до вичислення межі ступеня експоненти.
Тут експоненціальна функція прямує до нескінченності, оскільки значення більше одиниці e = 2.72> 1.
Приклад 43 У знаменнику дробу маємо невизначеність типу нескінченність мінус нескінченність, фактично дорівнює поділу на нуль.
Щоб позбутися кореня домножимо на поєднане вираз, а далі за формулою різниці квадратів перепишемо знаменник.
Отримаємо невизначеність нескінченність розділити на нескінченність, тому виносимо змінну в найбільшою мірою і скорочуємо на неї.
Далі оцінюємо внесок кожного доданка і знаходимо межа функції на нескінченності
Приклад 44. Знайти повторні кордону
Рішення: Обчислюємо межа функції двох змінних спочатку по y. а далі - x)
a)
б)
Приклад 45. Обчислити повторні кордону
Рішення: Методика обчислення повторних кордонів не складна:
спочатку знаходимо кордон по одній змінній, вважаючи другу змінну постійною.
Далі залишається функція від однієї змінної, а таких меж ми розібрали дуже багато.
а)
б)
У цьому завданні межа по першій змінної дорівнює нулю, тому повторні записуємо тільки для формальності.
Межа в даному випадку від порядку перебування не залежить.
Однак, якщо поглянути відповідь з попереднього прикладу то таке твердження не завжди виконується.
Шукайте ефективні схеми обчислення меж на сторінках сайту, якщо виникають проблеми з межами на іспитах і модулях - звертайтеся за допомогою!