Метод феррарі 1

(Резольвенти основного рівняння), то чотири кореня вихідного рівняння знаходяться як корені двох квадратних рівнянь

де подкоренное вираз в правій частині є повним квадратом. Відзначимо, що дискримінанти вихідного рівняння (1) четвертого ступеня і рівняння (2) збігаються.

Уявімо рівняння четвертого ступеня у вигляді:

$A\; x\; ^\; 4\; +\; B\; x\; ^\; 3\; +\; C\; x\; ^\; 2\; +\; D\; x\; +\; E\; =\; 0,$

Його рішення може бути знайдено з наступних виразів:

$\backslash \; Alpha\; =\; -\; +,$ $\backslash \; Beta\; =\; -\; +,$ $\backslash \; Gamma\; =\; -\; +\; -\; +,$ якщо $\backslash \; Beta\; =\; 0$, тоді, вирішивши $u\; ^\; 4\; +\; \backslash \; alpha\; u\; ^\; 2\; +\; \backslash \; gamma\; =\; 0$ і, зробивши підстановку $x\; =\; u-$, знайдемо коріння: $x\; =\; -\; \backslash \; pm\_s\; \backslash \; sqrt\; \backslash \; over\; 2>,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; beta\; =\; 0$. $P\; =\; -\; -\; \backslash \; gamma,$ $Q\; =\; -\; +\; -,$ $R\; =\; -\; \backslash \; pm\; \backslash \; sqrt\; \backslash \; over\; 4>\; +\; \backslash \; over\; 27\; >>$, (Будь-який знак квадратного кореня підійде) $U\; =\; \backslash \; sqrt\; [3]$, (Три комплексних кореня, один з яких підійде) $y\; =\; -\; \backslash \; alpha\; +\; U\; +\; \backslash \; beginU\; =\; 0\; \backslash \; To\; -\; \backslash \; sqrt\; [3]\; \backslash \backslash \; U\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash \; To\; \backslash \; end,$ Два ± s - один і той же знак при знаходженні конкретного x, при цьому ± t буде іншим або тим же. Все коріння x можна знайти при всіх чотирьох комбінаціях знаків ± s і ± t. «+, +»; «+, -»; «-, +» і «-, -». Подвійні коріння з'являться два рази, потрійні коріння - три рази і коріння четвертого порядку - чотири рази. Порядок коренів залежить від того, який з кубічних коренів U обраний.

Нехай є рівняння виду:

$\backslash \; X\; ^\; 4\; +\; ax\; ^\; 2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$

Позначимо корені рівняння як $x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\; x\_4$. У канонічної формі буде виконуватися співвідношення

$\backslash \; X\_1\; +\; x\_2\; +\; x\_3\; +\; x\_4\; =\; 0:$

З огляду на уявність щонайменше двох коренів можна уявити коріння як:

$\backslash \; X\_1\; =\; W\; +\; iK$ $\backslash \; X\_2\; =\; W-iK$ $\backslash \; X\_3\; =\; -W\; +\; iV$ $\backslash \; X\_4\; =\; -W-iV$

Причому W, V-дійсний числа. Висловимо a через корені рівняння

$\backslash \; A\; =\; x\_1x\_2\; +\; x\_1x\_3\; +\; x\_1x\_4\; +\; x\_2x\_3\; +\; x\_2x\_4\; +\; x\_3x\_4\; =\; x\_1x\_2\; +\; (x\_1\; +\; x\_2)\; (x\_3\; +\; x\_4)\; +\; x\_3x\_4\; =$ $\backslash \; =\; (W\; ^\; 2\; +\; K\; ^\; 2)\; +\; (W\; ^\; 2\; +\; V\; ^\; 2)\; -4W\; ^\; 2\; =\; V\; ^\; 2\; +\; K\; ^\; 2-2W\; ^\; 2$

Висловимо До через інші коефіцієнти:

$\backslash \; K\; ^\; 2\; =\; a\; +\; 2W\; ^\; 2\; V\; ^\; 2$ $\backslash \; C\; =\; x\_1x\_2x\_3x\_4\; =\; W\; ^\; 4\; +\; (V\; ^\; 2\; +\; K\; ^\; 2)\; W\; ^\; 2\; +\; K\; ^\; 2V\; ^\; 2\; =\; W\; ^\; 4\; +\; 2W\; ^\; 4\; +\; aV\; ^\; 2\; +\; 2W\; ^\; 2V\; ^\; 2V\; ^\; 4\; +\; aW\; ^\; 2$

$\backslash \; V\; ^\; 4-\; (a\; +\; 2W\; ^\; 2)\; V\; ^\; 2\; +\; c-3W\; ^\; 4\; -\; aW\; ^\; 2\; =\; 0$

$\backslash \; V\; ^\; 2\; =\; 1/2\; ((a\; +\; 2W\; ^\; 2)\; \backslash \; pm\; \backslash \; sqrt)$ $\backslash \; B\; =\; x\_1x\_2x\_3\; +\; x\_1x\_2x\_4\; +\; x\_1x\_3x\_4\; +\; x\_2x\_3x\_4\; =\; (W\; ^\; 2\; +\; K\; ^\; 2)\; \backslash \; cdot\; (-2W)\; +\; (W\; ^\; 2\; +\; V\; ^\; 2)\; \backslash \; cdot\; (2W)\; =\; 2W\; (V\; ^\; 2-K\; ^\; 2)\; =$ $\backslash \; =\; 2W\; (2V\; ^\; 2\; a-2W\; ^\; 2)\; =\; 2W\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sqrt$

або $\backslash \; B\; ^\; 2\; =\; 2W\; ^\; 2\; \backslash \; cdot\; (a\; ^\; 2-4c\; +\; 8aW\; ^\; 2\; +\; 16\; W\; ^\; 4)$

Звідси $\backslash \; 32\; W\; ^\; 6\; +\; 16aW\; ^\; 4\; +\; 2\; (a\; ^\; 2-4c)\; W\; ^\; 2-b\; ^\; 2\; =\; 0$

замінюючи $\backslash \; Y\; =\; W\; ^\; 2$ отримуємо резольвенту, вирішивши яку, знаходимо W

Напишіть відгук про статтю "Метод Феррарі"

• [Www.resolventa.ru/spr/algebra/ferrary.htm Метод Феррарі і розбір на прикладі]
• [Members.tripod.com/l_ferrari/quartic_equation.htm Поетапний розбір рішення Феррарі на прикладі] (англ.)

: Невірне або відсутнє зображення

Для поліпшення цієї статті з математики бажано? :

Уривок, що характеризує Метод Феррарі

П'єру здавалося, що він ніколи не їв страви смачніше цього.
- Ні, мені все нічого, - сказав П'єр, - але за що вони розстріляли цих нещасних. Останній років двадцяти.
- Тц, тц ... - сказав маленький чоловік. - Гріха то, гріха то ... - швидко додав він, і, як ніби слова його завжди були готові в роті його і ненавмисно вилітали з нього, він продовжував: - Що ж це, пане, ви так в Москві то залишилися?
- Я не думав, що вони так скоро прийдуть. Я ненавмисно залишився, - сказав П'єр.
- Та як же вони взяли тебе, соколе, в домі твоїм?
- Ні, я пішов на пожежу, і тут вони схопили мене, судили за палія.
- Де суд, там і неправда, - вставив маленький чоловік.
- А ти давно тут? - запитав П'єр, дожовуючи останню картоплю.
- Я то? Тієї неділі мене взяли з гошпіталь в Москві.
- Ти хто ж, солдат?
- Солдати Апшеронского полку. Від лихоманки вмирав. Нам і не сказали нічого. Наших людей двадцять лежало. І не думали, не гадали.
- Що ж, тобі нудно тут? - запитав П'єр.
- Як не нудно, соколе. Мене Платоном кликати; Каратаєва прізвисько, - додав він, мабуть, з тим, щоб полегшити П'єру звернення до нього. - Соколик на службі прозвали. Як не нудьгувати, соколе! Москва, вона містам мати. Як не нудьгувати на це дивитися. Так хробак капусту гложе, а сам перед тим пропадає: так то старички казали, - додав він швидко.
- Як, як це ти сказав? - запитав П'єр.
- Я то? - запитав Каратаєв. - Я говорю: не нашим розумом, а божим судом, - сказав він, думаючи, що повторює сказане. І негайно ж продовжував: - Як же у вас, пане, і вотчини є? І хата є? Стало бути, повна чаша! І господиня є? А старі батьки живі? - питав він, і хоча П'єр не бачив у темряві, але відчував, що у солдата кривилися губи стриманою усмішкою ласки в той час, як він питав це. Він, мабуть, був засмучений тим, що у П'єра не було батьків, особливо матері.
- Дружина для ради, теща для привіту, а немає милею рідної неньки! - сказав він. - Ну, а дітки є? - продовжував він питати. Негативна відповідь П'єра знову, мабуть, засмутив його, і він поспішив додати: - Що ж, люди молоді, ще дасть бог, будуть. Тільки б в раді жити ...
- Так тепер все одно, - мимоволі сказав П'єр.
- Ех, мила людина ти, - заперечив Платон. - Від суми та від тюрми ніколи не відмовляйся. - Він сів краще, прокашлявся, мабуть готуючись до довгого розповіді. - Так то, друже мій любий, жив я ще вдома, - почав він. - Вотчина у нас багата, землі багато, добре живуть мужики, і наш будинок, слава тобі богу. Сам сем батюшка косити виходив. Жили добре. Хрістьяне справжні були. Сталося ... - І Платон Каратаєв розповів довгу історію про те, як він поїхав в чужу гай за лісом і попався сторожу, як його сікли, судили і віддали ь солдати. - Що ж соколе, - говорив він постійно змінюваних від посмішки голосом, - думали горе, ан радість! Брату б йти, якби не мій гріх. А у брата меншого сам п'ят хлопців, - а у мене, дивись, одна солдатка залишилася. Була дівчинка, та ще до солдатчини бог прибрав. Прийшов я на побивку, скажу я тобі. Дивлюся - краще колишнього живуть. Животів повен двір, баби будинку, два брата на заробітках. Один Михайло, менший, будинки. Батюшка і каже: «Мені, говорить, всі дітки рівні: який палець ні укуси, все боляче. А якби не Платона тоді забрили, Михайле б йти ». Покликав нас всіх - віриш - поставив перед образу. Михайло, говорить, мабуть сюди, кланяйся йому в ноги, і ти, баба, кланяйся, і внучата кланяйтесь. Зрозуміли? говорить. Так то, друже мій любий. Рок голови шукає. А ми все судимий: щось не добре, то не гаразд. Наше щастя, дружок, як вода в бредні: тягнеш - надулися, а витягнеш - нічого немає. Так то. - І Платон пересів на своїй соломі.

Схожі статті

• Значення терміна феррарі метод

• Феррарі метод - це

• Феррарі метод - математична енциклопедія - енциклопедії словники