Монотонність функції на інтервалі Якщо на інтервалі \ ((a; b) \) для будь-якої пари точок \ (\), то функція \ (f (x) \) убуває на цьому інтервалі.
Функція, графік якої зображено на малюнку, зростає на інтервалі \ ((a; b) \) і убуває на інтервалі \ ((b; c) \).
Достатні ознаки монотонності функції на інтервалеДостаточний ознака зростання функції
Якщо \ (f '(x)> 0 \) у всіх точках \ (x \ in (a; b) \), то функція \ (f (x) \) зростає на інтервалі \ ((a; b) \) .
Достатній ознака спадання функції
Якщо \ (f '(x) Якщо в деякому інтервалі \ ((a; b) \), що містить точку \ (x_0 \) для всіх \ (x \ in (a; b) \) виконується нерівність \ (f (x ) \ geqslant f (x_0) \), причому в цьому інтервалі знайдеться така точка \ (x_1 \), що \ (f (x_1)> f (x_0) \), то \ (x_0 \) - точка локального мінімуму функції \ (f (x) \).
Якщо в деякому інтервалі \ ((a; b) \), що містить точку \ (x_0 \) для всіх \ (x \ in (a; b) \) виконується нерівність \ (f (x) \ leqslant f (x_0) \ ), причому в цьому інтервалі знайдеться така точка \ (x_1 \), що \ (f (x_1)
Ознаки максимуму і мінімуму Якщо в точці \ (x_0 \) функція \ (f \) неперервна, а її похідна \ (f '\) змінює свій знак з плюса на мінус в цій точці (тобто, існує такий інтервал \ ((a ; x_0) \), що \ (f '> 0 \) на \ ((a; x_0) \) і такий інтервал \ ((x_0; b) \), що \ (f' 0 \) на \ (( x_0; b) \)), то \ (x_0 \) - точка мінімуму функції \ (f \).
Точки мінімуму і максимуму функції - це точки області визначення цієї функції (тобто, значення \ (x \)). Значення функції в цих точках (значення \ (y \), що відповідають цим \ (x \)) називаються мінімумами і максимумами функції відповідно.
Наприклад, для функції \ (y = x ^ 2 + 1 \): \ (\; x = 0 \) - точка мінімуму, а \ (y (0) = 1 \) - мінімум.
Знаходження точок мінімуму і максимуму Для знаходження точок мінімуму і максимуму безперервної функції \ (f (x) \) потрібно:
1) знайти похідну \ (f '(x) \) цієї функції;
2) знайти нулі похідної (вирішити рівняння \ (f '(x) = 0 \)) і точки, в яких похідна не визначена;
3) знайти знаки похідної на кожному з вийшов проміжків;
4) ті точки, в яких функція \ (f \) неперервна, а її похідна змінює знак з "+" на "-" - точки максимуму цієї функції,
ті точки, в яких функція \ (f \) неперервна, а її похідна змінює знак з "-" на "+" - точки мінімуму цієї функції.
Найбільше і найменше значення функції на відрізку Безперервна на відрізку функція досягає свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку.
Для знаходження найбільшого і найменшого значення неперервної функції \ (f (x) \) на відрізку потрібно:
1) знайти похідну \ (f '(x) \) цієї функції;
2) знайти критичні точки. тобто нулі похідної (вирішити рівняння \ (f '(x) = 0 \)) і точки, в яких похідна не визначена;
3) знайти значення функції в критичних точках, а так само на кінцях відрізка;
4) найбільше з отриманих значень буде найбільшим значенням функції на даному відрізку,
найменше з отриманих значень буде найменшим значенням функції на даному відрізку.
Найбільше значення функції \ (f (x) \) на відрізку \ ([a; b] \) позначається \ (\ max \ limits_f (x) \)
Найменше значення функції \ (f (x) \) на відрізку \ ([a; b] \) позначається \ (\ min \ limits_f (x) \)
