Ще один приклад на жонглювання тригонометричними формулами. На цей раз попався синус двох арксинуса. При виконанні різних трюків на арені математичного цирку потрібно пам'ятати, що ваші дресирувальники не змусять вас виконувати ті трюки, яких ви не знаєте. Потрібно застосовувати все те, чого вас вже навчили, починаючи з перших класів. Ось приклад.
Синус арксинуса знаходиться дуже швидко - відкидаємо букви і задача вирішена. В результаті має залишитися просто число або математичний вираз, який перетворюється в число. Але в даному випадку між синусом і арксинуса варто число, яке не дає нам тупо викинути назви функцій. У тригонометрії є формули подвійного кута. ось цю формулу для синуса ми і застосуємо.
Як бачимо, в результаті двійка вилізла з синуса і вмостилася попереду нашого вираження. Але в математиці не буває все так просто. Противна двійка замість себе залишила нам на пам'ять відразу дві тригонометричні функції - синус і косинус. З синусом тепер ніяких проблем немає - він благополучно знищується арксинуса. А ось з косинусом проблеми - всередині нього з'явився все той же арксинус. Різні назви тригонометричних функцій з Арком і без говорять про те, що так просто від них не вдасться позбутися.
Є в математиці формули, які дозволяють перегнати математичних звірів з клітин з одними назвами в клітини з іншими назвами. Ось такий от математичний зоопарк. І нам в принципі не важливо, кого куди заганяти - косинус в синус або арксинус в арккосинус. Якщо ми виконаємо одну з цих операцій, ми отримаємо необхідний результат - обидва звіра виявляться в одній клітці. Якщо ми виконаємо відразу дві ці операції, ми знову опинимося в дурнях: косинус арксинуса зміниться на синус арккосинуса - обидва звіра як і раніше будуть в різних клітинах, тільки інших.
Вам ця ситуація нічого не нагадує? Плюс на мінус дає мінус, мінус на мінус дає плюс. Мені здається, дуже схоже. І в тому і в іншому випадку головним є результат. Якщо ми щось робимо один раз (множимо на мінус або застосовуємо одну з формул), то результат змінюється. Якщо ми щось робимо два рази (двічі множимо на мінус або застосовуємо відразу дві формули), то результат не змінюється. У випадку зі знаком числа він так і залишається незмінним, у випадку з назвами тригонометричних функцій - вони міняються місцями. Це вже фокуси математичної симетрії. Як бачите, математика - це не просто тупе жонглювання числами або формулами, це ще й математичні принципи вирішення різних математичних задач. Якщо ми зробимо це або це - отримаємо потрібний результат. Якщо ми зробимо і те, і це - нічо не отримаємо, або отримаємо зовсім не те, що нам треба. В математиці все дуже просто: два рази збреши - вийде правда. Це стосується будь-яких рішень будь-яких завдань. Один раз ви брешете, коли допускаєте помилку в ході рішення задачі, другий раз ви брешете, коли підганяєте це рішення під заздалегідь відомий результат. Особисто мені здається, що майже вся сучасна математика тримається саме на цьому принципі. Але це так, ліричний відступ.
Косинус ми чіпати не будемо, хай відпочиває. Перетворимо арксинус в арккосинус. Для перетворення арксинуса в будь-яку іншу арканутую тригонометричну функцію є спеціальні формули. У нашому прикладі число більше нуля але менше одиниці. Використовуємо першу формулу для арксинуса.
Таким чином, ми домоглися того, що наш косинус разом з арккосинуса безслідно зникають з нашого рівняння. Далі ми просто ганяємо циферки, виконуючи просте математичні дії з числами. Як бачите, відповідь можна отримати без будь-якого калькулятора. Можна просто тупо взяти калькулятор і порахувати на калькуляторі без всяких формул. Для перевірки отриманого результату я так і зробив.