У комп'ютерній рентгенівської томографії тривимірний об'єкт представляється зазвичай у вигляді набору тонких зрізів. Для відновлення щільності зрізу вирішується завдання звернення двовимірного перетворення Радону. Перетворенням Радону функції f (x, y) називається функція, яка визначається рівністю.
Зазвичай для відновлення функції двох змінних по її интегралам уздовж прямих використовується метод згортки і зворотного проектування. У цьому методі формула звернення перетворення Радону записується без явного використання узагальнених функцій. Однак найбільш загальний і природний вигляд формули обернення перетворення Радону набувають при використанні апарату узагальнених функцій. Далі буде розглянуто співвідношення між методом узагальнених функцій і методом згортки і зворотного проектування.
Перед викладом власне чисельного алгоритму буде дано висновок формули звернення, що дозволяє природним чином перейти до побудови алгоритму.
В силу рівності
функція при будь-якому фіксованому p визначається своїми значеннями при. Це дозволяє нам перейти до функції
.
Тут L (r, # 966;) - пряма, ортогональна променю, що має кут # 966; # 961; позитивним напрямком осі X, і віддалена від початку координат на відстань r (r 0), при r <0 L(r, φ) - прямая, симметричная относительно начала координат прямой L(|r|, φ). Выразим f(x, y) через I(r, φ).
,
де - перетворення Фур'є функції f, то, переходячи до полярних координат після елементарних перетворень інтеграла по # 966; на інтервалі [π, 2π], # 959; олучают
.
Введемо функцію S (z, # 966;), вважаючи
.
при фіксованому # 966; функція S (z, # 966;) # 949; сть зворотне одномірне перетворення Фур'є від твору і | r |. Для справедливо рівність
.
Зворотне перетворення Фур'є від | r | є узагальнена функція v1 / πz2. Переходячи від перетворення Фур'є твори до пакунку, отримуємо S (z, # 966;) = I (z, # 966;) (v1 / πz2). Використовуючи регуляризацію функції 1 / z2 [19] приходимо до виразу
Таким чином, для f (x, y) справедлива формула
що дозволяє висловити шукану функцію через спостережувані дані.
Перш ніж перейти до дискретного варіанту зробимо ряд зауважень, пов'язаних з обгрунтуванням коректності розглянутих алгоритмів в реальних ситуаціях. Узагальнені функції є функціоналом над простором нескінченно диференційовних швидко спадних функцій. Однак при побудові апроксимацій вихідних реальних даних за відліком, заданим в дискретних точках, бажано мати менш жорсткі вимоги до гладкості апроксимуючих функцій. Згортка з узагальненими функціями, зокрема, з функцією 1 / z2, може бути визначена для значно менше гладких функцій, це дуже важливо при доказі коректності застосування чисельних алгоритмів, одержуваних за допомогою апарату узагальнених функцій, до реальних даних.
Перейдемо до дискретного варіанту. Будемо припускати, що f (x, y) = 0 поза колом радіуса R з центром в нулі. Вихідними даними є величини I (ri, # 966; i), тут ri v відліки в інтервалі [-R, R], 1 ≤ i ≤ M - відліки в інтервал [0, π], 1 ≤ j ≤ N. Якщо тепер при заданих значеннях функції I (r, # 966;) # 946; отсчетах (ri, # 966; i) побудувати апроксимацію I (r, # 966;) так, що для S (z, # 966;) # 946; иполняется рівність (1.5.1), то використовуючи (1.5.1) і (1.5.2) можна отримати наближення до f (x, y). Надалі будемо припускати, що відліки на осях r і # 966; є рівновіддаленими.
При кожному фіксованому # 966; j визначимо наступним чином.
Порятунок в роздільному харчуванні?
Якщо ви стали повними, дуже повними і навіть товстими, то вам не допоможе тільки поділ під час одного прийому їжі продуктів, багатих білками, і продуктів, багатих на вуглеводи. Однак це мо.
Мінімальна мозкова дисфункція
Мінімальна мозкова дисфункція (або гіперкінетичний хронічний мозковий синдром, або мінімальне пошкодження мозку, або легка дитяча енцефалопатія, або легка дисфункція мозку) відносить.
загальні положення
При подразненні слизової оболонки зіва, стравоходу і шлунка велике значення мають рефлекси захисного характеру. В результаті цих рефлексів виникає блювота. Блювота сприяє видаленню з шлунка.