Вирішимо кілька завдань, пов'язаних з визначенням напруженості поля на різних відстанях від об'єкта, який є джерелом поля. Тут потрібно згадати правила взяття похідної складної функції, а також і межа функції.
Завдання 1. При напруженості електричного поля В / м повітря перестає бути надійним ізолятором і в ньому відбувається іскровий розряд. Яким повинен бути радіус металевої кулі, щоб на ньому міг втриматися заряд в 1 Кл?
Напруженість поля зарядженої кулі виражається формулою
Звідси знайдемо радіус:
Завдання 2. У вершинах квадрата зі стороною розташовані чотири однакових заряду. Визначити максимальну напруженість поля на осі, що проходить через середину квадрата перпендикулярно його площині. На якій відстані від квадрата напруженість максимальна?
Кожен із зарядів буде робити внесок в сумарну напруженість поля в даній точці. Вектора напруженостей від пари зарядів, що знаходяться в протилежних кутках, частково компенсують один одного: горизонтальні їх складові (проекції на площину квадрата) в сумі дадуть нуль. Тому складатися будуть вертикальні складові - проекції напруженостей на вертикальну вісь. Проекція напруженості поля на вертикальну вісь від одного заряду дорівнює:
Від чотирьох зарядів:
Відстань до заряду. визначимо його. Якщо сторона квадрата. то діагональ дорівнює. а половина діагоналі -. Нехай від площини квадрата до точки відстань. . тоді
У цій формулі змінна величина - відстань. Щоб знайти максимум функції. візьмемо похідну:
Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти екстремум:
Ми визначили відстань, на якому напруженість буде максимальною - можна переконатися в тому, що це саме точка максимуму, визначивши знак похідної ліворуч і праворуч від даної точки. Тепер можна підставити яку в формулу напруженості поля і визначити максимальну напруженість:
Відповідь: максимальна напруженість досягається на відстані від площини квадрата.
Завдання 3. Тонке дротове кільце радіусом має заряд. Знайти напруженість поля на осі кільця на відстані від його центру. Побудувати графік залежності.
Завдання схожа на попередню. Тільки тепер елементарні заряди розподілені по кільцю, і кожен заряд створює вектор напруженості. Таким чином, отримаємо поверхню у вигляді конуса, складену з векторів напруженостей окремих елементарних зарядів.
Якщо встати в центр кільця, то вектора повністю компенсують один одного, і сумарна напруженість буде нульовий. Однак, як тільки ми зрушимо трохи вправо або вліво з цієї точки, то напруженість вже не буде нульовою, так як у векторів з'явиться поздовжня складова, і саме сума всіх цих складових і дасть напруженість поля в будь-якій точці на осі кільця, віддаленої від нього на відстань. Елементарний заряд можна знайти як. Напруженість, створювана ним,
Де. а косинус кута
Напруженість поля від усіх зарядів:
Щоб знайти максимум функції. візьмемо похідну:
Прирівняємо похідну до нуля, щоб знайти екстремум:
Визначимо максимальну напруженість поля в цій точці, підставивши це відстань в вираз для напруженості:
Ми з'ясували, що в центрі кільця напруженість поля нульова і зростає з відстанню. поки не досягне максимуму на відстані. Тепер подивимося, чому дорівнює напруженість на нескінченно великій відстані: спрямуємо до нескінченності.
Так як в цій функції і в чисельнику, і в знаменнику, і ми маємо невизначеність типу нескінченність на нескінченність, то визначимо межа за правилом Лопіталя:
Отже, можна будувати графік:
Завдання 3, графік