Лабораторна робота 1. «Системи числення»
Система числення - це правила запису чисел за допомогою заданого набору спеціальних знаків - цифр.
Людьми використовувалися різні способи запису чисел, які можна об'єднати в кілька груп: унарна, непозиційної і позиційні.
Дві перші представляють швидше історичний інтерес, оскільки мають досить обмежене застосування в даний час.
Унарна система числення
Унарнаясістема числення - це система числення, в якій для запису чисел використовується тільки один знак - 1 ( «паличка»).
Наступне число виходить з попереднього додаванням нової 1; їх кількість (сума) дорівнює самому числу.
Саме така система застосовується для початкового навчання рахунку дітей (можна згадати «рахункові палички»).
Іншими словами, використання саме унарною системи виявляється важливим педагогічним прийомом для введення дітей у світ чисел і дій з ними.
Непозіціонниесістема числення
Непозиційних система счісленія- система, в якій символи, що позначають ту чи іншу кількість, не змінюють сво-його значення в залежності від місця розташування (позиції) в изоб-виразі числа.
З непозиційних найбільш поширеною можна вважати римську систему числення.
У ній деякі базові числа позначені заголовними латинськими буквами:
1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L. 100 - C, 500 - D, 1000 - M.
Всі інші числа будуються з комбінацій базових, причому:
якщо цифра зліва менше, ніж цифра праворуч, то ліва цифра віднімається з правої;
якщо цифра праворуч менше або дорівнює цифрі зліва, то ці цифри складаються;
Запис чисел в такій системі громіздка і незручна, але ще більш незручним виявляється виконання в ній навіть найпростіших арифметичних операцій.
Нарешті, відсутність нуля і знаків для чисел більше M не дозволяють римськими цифрами записати будь-яке число (хоча б натуральне). Використовується ця система для нумерації.
Позиційні системи числення
Позиційними називаються системи числення, в яких значення кожної цифри в зображенні числа визначається її положенням (позицією) в ряду інших цифр.
Упорядкований набір символів (цифр) 0, av. ап), який використовується для надання будь-яких чисел в заданій позиційній сі-стем числення, називають ееалфавітом, число символів (цифр) алфавіту р = п + 1 - її підставою, а саму систему числення називаютр -річной.
Підстава позиційної системи числення - колічестворазлічних цифр, використовуваних для зображення чисел у цій системі числення.
Найзвичнішою для нас є десяткова система счісле-ня. Її алфавіт -, а підстава р = 10, т. Е. В цій системі для запису будь-яких чисел використовується тільки десятьразних символів (цифр). Десяткова система числення заснована на тому, що 10 одиниць каж-дого розряду об'єднуються в одну одиницю сусідньої старшого розряду, тому кожен розряд має вагу, рівний ступеня 10. Сле-послідовно, значення однієї і тієї ж цифри визначається її місцем розташування в зображенні числа, характеризується ступенем числа 10. Наприклад, в зображенні числа 222.22 цифра 2 повторяется5 раз, при цьому перша зліва цифра 2 означає кількість сотень (її вага дорівнює 10 2); друга - кількість десятків (її вага дорівнює 10 1), третя - кількість одиниць (її вага дорівнює 10 0), четверта - кількість десятих часток одиниці (її вага дорівнює 10 -1) і п'ята цифра - кількість сотих часток одиниці (її вага дорівнює 10 -2), т. е. число 222.22 може бути розкладено за ступенями числа 10:
222.22 = 2 • 10 2 + 2 • 10 1 +2 • 10 ° + 2 • 10 -1 + 2 • 10 -2.
Аналогічно 725 = 7 • 10 2 + 2 • 10 1 +5 • 10 °;
1304.5 = 1 • 10 3 + 3 • 10 2 + 0 • 10 1 + 4 • 10 ° + 5 • 10 -1,
50328.15 = 5 • 10 4 + 0 • 10 3 + 3 • 10 2 + 2 • 10 1 + 8 • 10 ° + 1 • 10 -1 + 5 • 10 -2.
У загальному випадку для завдання р -річной системи числення необхідно визначити підставу р і алфавіт, що складається з р различ-них символів (цифр) АРI = 1. р.
Будь-яке число Xp можна представити у вигляді полі-нома шляхом розкладання його за ступенями чіслаp:
послідовність з коефіцієнтів якого представляє со-бій скорочений запис числа Xp:
Точка, яка відокремлює цілу частину числа від дробової, служить для фіксації конкретних значень кожної позиції в цій послідовно-вательності цифр і є початком відліку.
Методи перекладу чисел. Подання чисел в різних системах числення
Переводчісел з однієї системи числення в іншу
Одне і те ж число може бути записано в різних системах числення.
Для заміни вихідного чіслаXqравним йому чісломXpнужно по правіламq-річної арифметики целочисленном делітьXqна нове основаніеp. Результати розподілу, записані в порядку від останнього до першого, і виявляться цифрами Xp.
Оскільки коефіцієнти многочлена невідомі, позначимо їх ai; отримуємо:
Зазвичай описану процедуру представляють у вигляді звичної по школі операції ділення:
Таким чином, отримали X5 = 443.
Перевіряємо правильність перекладу: 4 * 5 2 +4 * 5 1 +3 * 5 0 = 100 + 20 + 3 = 12310.
Друге, на що потрібно звернути увагу - всі операції виконувалися за правилами арифметики тієї системи числення, від якої здійснювався переклад (в розглянутому прикладі - десяткового).
Для переказу необхідно представити чіслоXqв формі многочлена і виконати всі операції по правіламp-річної арифметики.
Наведеними алгоритмами зручно користуватися коли потрібно перевести число з десяткової системи в якусь іншу або навпаки.
Вони працюють і для перекладу між будь-якими іншими системами числення, однак, такий переклад буде утруднений тим, що всі арифметичні операції необхідно здійснювати за правилами вихідної (в першому алгоритмі) або кінцевої (у другому алгоритмі) системи.
З цієї причини перехід, наприклад X3 X8 простіше здійснити через проміжний перехід до 10-ної системі X3 X10 X8.
Алгоритм перекладу правильної дробу при q> p
Результатом перекладу правильної дробу 0, Xq буде також правильна дріб 0, Xp. яка вийде в результаті множення вихідної дробу на нове основаніеpпо правіламq-річної арифметики; ціла частина отриманого твори буде цифрою старшого розряду нової дробу; дробову частину отриманого твір слід знову помножити наpі т.д.
Тоді для отримання 0, X2:
Перевіряємо 0,011 = 0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 0,25 + 1,125 = 0,37510
Алгоритм перекладу правильної дробу при q Для переводаXqXpнеобходімо уявити чіслоXqв формі многочлена і виконати всі операції по правіламp-річної арифметики. 0, 43517 * 6 = 2, 61102 0, 61102 * 6 = 3, 66612 Для переведення цілого двійкового числа в систему числення з основаніемp = 2rдостаточно дане двійкове число, починаючи з молодшого розряду, розбити на групи вrціфр кожна і кожну групу незалежно перевести в сістемуp. Наприклад, для перекладу числа 1100012 в систему числення p = 8, потрібно розбити вихідне число на групи по три розряди справа наліво (8 = 2 3. отже, r = 3) і перевести в 8-річної систему числення: 1100012 = 618. Перевіряємо 1100012 = 32 + 16 + 1 = 4910. 6 * 8 1 + 1 * 8 0 = 4910 Аналогічно, розбиваючи на групи по 4 виконавчі цифри, отримаємо 1100012 = 3116. Для переведення цілого числа, записаного в системі числення з основаніемp = 2r, в двійкову систему досить кожну цифру вихідного числа незалежно замінити соответствующімr-розрядних двійковим числом, доповнюючи його при необхідності незначущими нулями до групи вrціфр. Приклад: уявімо число D316 в двійковій системі числення: Завдання для самостійного виконання Переведіть число Xp p-річної системи числення вXq q-річної системи численняСхожі статті