Лабораторна робота № 7-1
ГЕОМЕТРИЧНИЙ СЕНС ПОХІДНОЇ
Похідна безперервної функції є однією з найважливіших її характеристик. Вона використовується в задачі дослідження поведінки функції, побудови її графіка, в задачах умовної і безумовної оптимізації та багатьох інших. Похідна безперервної функції однієї змінної в заданій точці x визначається як межа відносини її збільшення до приросту аргументу при прагненні останнього до нуля:
Для обчислення похідних в Maple існує спеціальна команда diff (), яка дозволяє обчислювати як похідні будь-яких порядків функцій однієї змінної, так і приватні похідні функцій багатьох змінних.
Геометричний зміст похідної. Дотична до графіка функції
Почнемо розділ з демонстрації геометричного сенсу похідної як тангенса кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці. Дотична визначається як граничне положення січної, що проходить через дві точки графіка при прагненні однієї з них до іншої. Всі побудови здійснимо на прикладі функції:
Будемо обчислювати похідну в точці x0 = 1. Для цього поставимо саму функцію і дві точки її графіка з абсциссами, відповідно, x0 = 1 і x1 = x0 + h:
Команда slope () (нахил) з пакету student обчислює тангенс кута нахилу прямої, що проходить через дві задані точки:
> With (student): t: = slope (p0, p1);
Тепер, якщо спрямувати h до нуля, то вираз t має сходитися до числа, рівному тангенсу кута нахилу січної в граничному положенні, тобто тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці x = 1. Задамо послідовність значень h_values, що сходиться до нуля:
> Seq (evalf (t), h = h_values);
-5.439033250, -12.57034624, -13.3498521, -13.5137879, -13.569058,
-13.592932, -13.604946, -13.611648, -13.615686, -13.61826,
Видно, що ця послідовність сходиться, і дуже швидко. Але чи сходиться вона до значення похідної функції в точці x = 1? Обчислимо похідну за допомогою функції diff ():
Команда eval служить для підстановки числових значень в функцію. Команда evalf - для обчислення наближеного значення виразу.
Помічаємо, що побудована нами послідовність сходиться до значення похідної в точці x = 1. Уже її п'ятнадцятий член має два точних знака після коми. Точний результат отримаємо, якщо обчислимо межа вираження t при h 0:
Графічні можливості Maple дозволяють побачити, як січна наближається до дотичній. Побудуємо рівняння січної як прямої, що проходить через дві задані точки з координатами (x0, y (x0)) і (x0 + h, y (x0 + h)) відповідно (тут Y є залежною, а X незалежної змінними):
Висловимо залежну змінну Y через незалежну X і представимо у вигляді функції:
Команда unapply перетворює вираз в функцію. Команда rhs означає "right hand side" - права частина виразу. % Означає результат попередньої операції. Ми отримали рівняння січної.
Аналогічно побудуємо у вигляді функції рівняння дотичної. Тут використовується відоме рівняння дотичній.
Тепер можемо побудувати послідовність зображень, що містять графік функції, її дотичній і січною при зміні параметра h, і відобразити її у вигляді анімаційної картинки командою display ():
> S: = seq (plot ([y (x), line_tang (x), line_sec (x)], x = 0..4,
view = [0..3,10..40], color = [black, black, green], thickness = 2),
> With (plots): display (S, insequence = true);
ЗАВДАННЯ 1. Вирішіть ті ж завдання, задавши інші послідовності h_values Січна буде повільніше прагнути до дотичній, якщо
ЗАВДАННЯ 2. Дослідіть наближення січною до дотичній для функції
