Нехай задана функція дійсного змінного. Потрібно знайти коріння рівняння
Завдання знаходження коренів рівняння (1) зазвичай вирішується в 2 етапи. На першому етапі проводиться відділення коренів, тобто виділення відрізків, що містять тільки один корінь. На другому етапі, використовуючи початкове наближення, будується ітераційний процес, що дозволяє уточнити значення відшукуваного кореня.
виклад методу
Метод січних виходить з методу дотичних заміною різницевим наближенням:
В результаті отримаємо формулу ітераційного процесу:
Метод січних є двухшаговим. тобто нове наближення "/> визначається двома попередніми ітераціями і." /> У методі (1) необхідно ставити два початкових наближення і
Швидкість збіжності методу буде лінійною. -x * | = O (k ^ k-x *). "/>
геометрична інтерпретація
Зауважимо, що рівняння для січної, що проходить через точки і, буде виглядть так:
Поклавши і, "/> можна отримати формулу (2). Це означає, що" /> - це абсциса точки перетину нашої січною з віссю ОХ. Інакше кажучи, на відрізку, x ^ k] "/> функція інтерполюється многочленом першого ступеня і за чергове наближення" /> приймається корінь цього многочлена.
числовий приклад
Розглянемо функцію За допомогою методу (2) знайдемо корінь рівняння Вихідний код програми, що шукає корінь рівняння методом січних, викладений в розділі «Файли».
Візьмемо в якості початкових наближень і точність. "/> В результаті за 8 ітерацій отримаємо корінь
рекомендації програмісту
критерій зупинки
Як правило, беруть один з наступних критеріїв зупинки:
помилки округлення
У методі січних, як і в інших ітераційних методах вирішення рівнянь, помилка округлення не накопичується. Загальна помилка округлення дорівнює помилку, що виникла в останній ітерації, і не залежить від арифметичних операцій, що виконувалися в попередніх ітераціях.