Мал. 1. Приклад залежностей ρхх і ρху від напруженості магнітного поля Н для цілочисельного квантового ефекту Холла.
КВАНТОВИЙ ЕФЕКТ Холл, мак-ро-ско-піч. кван-то-вий еф-фект, про-яв-ляю-щий-ся в кван-то-ва-ванні хол-лов-ско-го со-про-тив-ле-ня $ \ rho_ $ (див. Хол -ла еф-фект) і ис-чез-но-ве-ванні питомої-но-го со-про-тив-ле-ня $ \ rho_ $. К. е. X. на-блю-да-ет-ся при низ-ких темп-pax $ T $ в дво-мер-ном шарі но-си-ті-лей за-ря-да в по-лу-про-вод-ні -ках, по-ме-щён-них в маг-ніт-ну по-ле на-пря-дружин-но-стю $ \ boldsymbol H $. пер-пен-ді-ку-ляр-ної пло-ко-сти $ xy $. У від-ли-ність від клас-січ. еф-ФЕК-та Хол-ла, при ко-то-ром $ \ rho_ $ мо-но-тон-но за-ві-сит від $ H $ або кон-цен-тра-ції но-си-ті-лей за-ря-да $ n $ ($ \ rho_ = H / nec $. де $ e $ - за-ряд елек-тро-на, $ c $ - ско-кість све-та), в слу-чаї К. е. X. $ \ rho_ $ при-ні-ма-ет дис-крет-ні зна-че-ня, а кому-по-нен-ту $ \ rho_ $ ста-но-вит-ся ис-че-заю-ще ма-лій по срав-ні-нию зі сво-їм зна-че-ні-му при $ H = 0 $. $$ \ rho _ = (2 \ pi \ hbar) / (\ nu e ^ 2), \\ \ rho_ \ to 0. \ quad \ tag $$ Тут $ 2 \ pi \ hbar / e ^ 2 = 25812,8 $ Ом, $ \ hbar $ - по-сто-ян-ва План-ка, $ \ nu = p / q $ - це-лі або дроб-ро-цио-наль-ні чис-ла ($ p $. $ q $ - це-лі чис-ла). З-від-но-ше-ня (1) ви-пол-ня-ють-ся для ря-да ін-тер-ва-лов кон-цен-тра-ції но-си-ті-лей за-ря да $ n $ при по-сто-ян-ном $ H $ або для ря-да ін-тер-ва-лов $ H $ при по-сто-ян-ної кон-це-нт-ра-ції $ n $ (рис. 1).
К. е. X. з це-ло-чис-льон-ни-ми $ \ nu = 1,2, \ dots $ (це-ло-чис-льон-ний К. е. X.) від-критий К. фон Кліт- цин-гом в 1980. до. X. з дроб-ни-ми $ \ nu = $ 1/3. 2/3. 4/3. 5/3. 7/3. 8/3. 1/5. 2/5. 3/5. 4/5 і т. Д. (Дроб-ний К. е. X.) від-критий Д. Цуї і X. Стор-ме-ром в 1982. До. X. на-блю-да-ет-ся в дво-мер-них сло-ях $ n $ - і $ p $ -ти-па в крем-ня-вих МДП-струк-ту-рах (ме-талл - ді-електро-трик - по-лу-про-вод-ник), а так-же в ге-ті-ро-пе-ре-хо-дах GaAs / AlGaAs, Si / SiGe і ін. в силь-них маг -ніт-них по-лях і при низ-ких темп-pax $ T \ ll \ hbar \ omega_c $ ($ \ omega_c = eH / m ^ * c $ - цик-ло-трон-ва годину-то-та, $ m ^ * $ - еф-ФЕК-тив-ва мас-са елек-тро-ну). При по-ви-ше-ванні темп-ри збіль-ли-чи-ва-ет-ся з-про-тив-ле-ня в мі-ні-му-ме $ \ rho_ $. умень-ша ет ся ши-ри-на пла-то $ \ rho_ $ і збіль-ли-чи-ва-ет-ся його на-клон.
Ком-по-нен-ти $ \ rho_ $ і $ \ rho_ $ тен-зо-ра со-про-тив-ле-ня через ме-ря-ють на пря-мо-вугілля-них про-раз-цах з че-тирь-ма або бо-леї кон-так-та-ми до ін-вер-си-он-но-му шару, про-пус-кая по-сто-ян-ний або пе-ре-мен- ний струм $ I_x $. Раз-ність по-тен-Циа-лов ме-ж-ду кон-так-та-ми - уздовж то-ка $ V_x $ і по-пе-рёк то-ка $ V_y $ - по-зво-ля-ет оп-ре-де-лити когось по-нен-ти тен-зо-ра питомої-но-го Опори $ \ rho $ і про-во-ді-мо-сти $ \ sigma $. $$ \ rho_ = W / L (V_x / I_x); \\ \ rho_ = V_y / I_x; \\ \ sigma _ = \ rho _ / (\ rho_ ^ 2 + \ rho_ ^ 2); \\ \ sigma _ = \ rho_ / (\ rho_ ^ 2 + \ rho_ ^ 2). \ Quad \ tag $$ Тут $ W $ - ши-ри-на дво-мер-но-го шару, $ L $ - рас-стоячи-ня ме-ж-ду кон-так-та-ми уздовж то-ка . Вид-но, що $ \ rho_ \ to0 $ і $ \ sigma_ \ to 0 $ од-но-ча-мен-но, в той ча-ма як хол-лов-ська когось по-нен-та про-во -ді-мо-сти $ \ sigma_ \ to 1 / \ rho_ $ і так-же яв-ля-ет-ся кван-то-ван-ної ве-ли-чи-ний.
Це-ло-чис-льон-ний К. е. X. об'єк-яс-ня-ет-ся на ос-но-ве од-но-годину-тич-них пред-став-ле-ний (НЕ-взаи-мо-дей-ст-ву-щие елек-тро ни); но-си-ті-ли за-ря-да рас-гля-ри-ва-ють-ся як дво-мер-ний елек-трон-ний газ. В маг-ніт-ном по-ле на-пря-дружин-но-стю $ \ boldsymbol H $. пер-пен-ді-ку-ляр-ної пло-ко-сти шару, енер-ге-тич. спектр електрон-тро-нів з не-пре-рив-но-го ста-но-вит-ся дис-крет-ним. При дос-та-точ-ний ве-ли-чи-не $ H $ спектр со-сто-ит з отд. ек-ві-ді-стант них НЕ-пе-ре-даху-ваю-чих-ся Лан-дау рів-ній. Енер-гія $ j $ -го рів-ня $$ \ mathscr E_j = (j + 1/2) \ hbar \ omega_c, j = 0,1,2, \ dots \ quad \ tag $$ Пліт-ність раз- ре-Шен-них со-стоячи-ний на ка-ж-будинок з рів-ній Лан-дау $ n_H $ рав-на пліт-но-сті кван-тов маг-ніт-но-го по-то-ка Φ . про-ні-зи-ваю-ще-го дво-мер-ний шар: $$ n_H = Ф / Ф_0 = eH (2 \ pi \ hbar c), \ quad \ tag $$ де $ Ф_0 = 2 \ pi \ hbar c / e $ - квант маг-ніт-но-го по-струму.
Мал. 2. Зв'язок між щільністю станів g (ℰ) для двовимірної системи і залежністю σxx і σху від концентрації електронів n / nH; ℰF - рівень Фермі.
При через ме-ні-ванні кон-цен-тра-ції но-си-ті-лей $ n $ в шарі або на-пря-дружин-но-сті $ H $ маг-ніт-но-го по-ля через ме-ня-ет-ся по-ло-же-ня рів-ня Фер-ми $ \ mathscr E_F $ від-но-си-тель-но сис-те-ми рів-ній Лан-дау. Ес-ли $ \ mathscr E_F $ на-хо-дить-ся в про-лас-ти ме-ж-ду дво-ма со-сивий-ні-ми рів-ня-ми Лан-дау $ (j, j + 1) $. де енер-ге-тич. пліт-ність з-стоячи-ний $ g (\ mathscr E) $ ма-ла, то при $ T \ to 0 $ все со-стоячи-ня на рів-нях Лан-дау, ле-жа-ють ні-же рів-ня $ j $. пол-но-стю за-пол-ні-ни. Це-му ус-ло-вию від-ве-ча-ет кон-цен-тра-ція но-си-ті-лей, рав-ва $$ n = jn_H = jeH / (2 \ pi \ hbar c). \ Quad \ tag $$ Під-ста-нов-ка (5) в фор-му-лу для зви-ного еф-ФЕК-та Хол-ла да-ет з-від-но-ху (1) з це-ло-чис-льон-ним зна-че-ні-му $ \ nu = j = n / n_H $. маю-щим сенс при-ве-Ден-ної кон-цен-т-ра-ції. Т. о. се-ре-ді-нам пла-то $ \ rho_ $ со-від-вет-ст-ву-ет рас-по-ло-же-ня $ \ mathscr E_F $ по-се-ре-ді-ні ме ж-ду рів-ня-ми Лан-дау, а пе-ре-хід-ний навчаючи-стік ме-ж-ду дво-ма со-сивий-ні-ми пла-то со-від-вет-ст-ву -ет на-хо-ж-де-нию $ \ mathscr E_F $ в об-лас-ти мак-си-му-ма $ g (\ mathscr E) $. т. е. в цен-тре рів-ня Лан-дау (рис. 2).
Ши-ро-кі пла-то $ \ rho_ $ і мі-ні-му-ми $ \ rho_ $ свя-за-ни з су ще ст-во-ва-ні-му на «Крила-ях» рівнів -ней Лан-дау ло-ка-ли-зо-ван-них со-сто-я-ний елек-тро-нів. В-во-ді-мо-сти навчаючи-ст-ву-ють лише де-ло-ка-ли-зо-ван-ні но-си-ті-ли за-ря-да, ко-то-які за -ні-ма-ють уз-кую по енер-гии по-лос-ку в се-ре-ді-нах рів-ній Лан-дау (рис. 2). Най-бо-леї рас-про-стра-нён-ний ме-ха-нізм віз-ник-но-ве-ня свя-зан-них со-стоячи-ний - ло-ка-ли-за-ція електро- тро-нів на флук-туа-ци-ях по-тен-Циа-ла, ана-ло-гич-ва ан-дер-со-нів-ської ло-ка-ли-за-ції при від-сут-ст -віі маг-ніт-но-го по-ля. Мал. 2 по-яс-ня-ет по-ве-де-ня $ \ sigma_ $ і $ \ sigma_ $ при через ме-ні-ванні $ n $ або $ H $. Ко-ли $ \ mathscr E_F $ рас-по-ло-же-на в про-лас-ти ло-ка-ли-зо-ван-них со-стоячи-ний на даху-ле $ j $ -го уров- ня, то ло-ка-ли-зо-ван-ні но-си-ті чомусь аж навчаючи-ст-ву-ють в елек-тро-про-вод-но-сті і весь струм про-ті-ка ет толь-ко по об-лас-тям де-ло-ка-ли-зо-ван-них со-стоячи-ний. Т. к. Ці со-стоячи-ня рас-по-ло-же-ни по енер-гии ні-же $ \ mathscr E_F $. то кон-цен-тра-ція но-си-ті-лей $ n $ в них мак-си-маль-но мож-ли-ва (5) і $ \ rho_ $ име-ет кван-то-ван-ве зна-че-ня (1). При збіль-ли-че-ванні $ n $ до-бав-ляе-мі в дво-мер-ний шар но-ші но-си-ті-ли за-ря-да по-па-да-ють в про- лас-ти ло-ка-ли-зо-ван-них но-си-ті-лей. Кон-цен-тра-ція де-ло-ка-ли-зо-ван-них но-си-ті-лей при цьому не через ме-ня-ет-ся і, сле-до-ва-тель-но , не через ме-ня-ет-ся зна-че-ня $ \ rho_ $. Так про-дол-жа-ет-ся до тих пір, по-ка $ \ mathscr E_F $ не вий-дет за пре-де-ли об-лас-ти ло-ка-ли-зо-ван-них з- стоячи-ний і не по-па-дет в об-ласть де-ло-ка-ли-зо-ван-них со-стоячи-ний на $ j + 1 $ уро-вень. При цьому кон-цен-тра-ція де-ло-ка-ли-зо-ван-них но-си-ті-лей поч-нёт через ме-нять-ся з-від-вет-ст-вен-но через ме-ні-нию $ \ mathscr E_F $; це-му со-від-вет-ст-ву-ет пе-ре-хід-ний навчаючи-стік ме-ж-ду дво-ма со-сивий-ні-ми пла-то $ \ sigma_ $ (рис. 2 ). Т. о. со-від-но-ху (1) ви-пол-ня-ет-ся в ін-тер-ва-ле енер-гий, рав-ном ще-чи в спек-тре де-ло-ка-ли -ЗО-ван-них со-стоячи-ний.
Ні-зви-ні мо-ді-фі-ка-ції К. е. X. на-блю-да-ють-ся в трьох-мер-них ор-га-нич. ма-те-ріа-лах з рез-ко ани-зо-стежок-ної про-во-ді-мо-стю (в фа-зе віл-ни спи-но-вої пліт-но-сті) і в гра- фе-ні (мо-но-атом-ні шари гра-фі-та). У пер-вом слу-чаї уро-вень Фер-ми мо-же на-хо-дить-ся толь-ко в об-лас-ти енер-ге-тич. ще-лей, і по-це-му пе-ре-хо-ди ме-ж-ду пла-то яв-ля-ють-ся скач-ко-про-раз-ни-ми фа-зо-ви-ми пе-ре-хо-да-ми 1-го ро-да. У гра-фе-ні, вві-ду біс-ще-ле-по-го ли-ней-но-го спек-тра но-си-ті-лей за-ря-да, по-ло-же-ня пла -то сдви-ну-ти на 1/2 від це-ло-чис-льон-них фак-то-рів за-пол-ні-ня (1), а ве-ли-чи-на енер-ге-тич . ще-чи ока-зи-ва-ет-ся настільки ве-ли-ка, що До. X. на-блю-да-ет-ся аж до кого-нат-них темп-р.
Дроб-ний К. е. X. яв-ля-ет-ся су-гу-бо мно-го-годину-тич-ним еф-ФЕК-те, след-ст-ві-му силь-но-го ку-ло-нів-ско-го взаи-мо-дей-ст-вия і кор-ре-ля-цій ме-ж-ду ква-зи-ча-сти-ца-ми.
Для на-блю-де-ня К. е. X. по-ми-мо низ-ких темп-р і силь-них маг-ніт-них по-лей НЕ-про-хо-ді-ми про-раз-ці з дос-та-точ-но ви-со -кою під-віж-но-стю но-си-ті-лей за-ря-да (т. е. з ма-лій ши-ри-ної рів-ній Лан-дау).
На ос-но-ве це-ло-чис-льон-но-го К. е. Х. осу ще ст-в-ля-ет-ся вос-про-з-ве-де-ня оди-ні-ці еле-Тріч. со-про-тив-ле-ня (ом).
Мал. 1. Приклад залежностей ρхх і ρху від напруженості магнітного поля Н для цілочисельного квантового ефекту Холла.
Мал. 2. Зв'язок між щільністю станів g (ℰ) для двовимірної системи і залежністю σxx і σху від концентрації електронів n / nH; ℰF - рівень Фермі.