Опр. Комутатором двох операторів і називається оператор.
Твір операторів і, взагалі кажучи, не коммутативно, тобто .
Опр. Оператори, для яких виконується умова називаються коммутирующими.
Приклад 1. Обчислимо. Для цього розглянемо дію комутатора на довільну функцію Y., тобто = 0, ці оператори комутують між собою.
Приклад 2. Обчислимо.
,тобто , Оператори не комутують між собою.
Нехай деякий стан квантової системи описується хвильової функцією Y. Зробимо в цьому квантовому стан вимір двох фізичних величин А і В. Цим величинам відповідають оператори. Фізичні величини включають прямі одночасно виміряні, якщо функція Y є власною функцією обох операторів, т. Е. Виконуються умови:
Подействуем на обидві частини рівності (1) оператором, а на (2) - оператором:
З (3) і (4) випливає, що. Тобто якщо дві фізичні величини одночасно вимірні, то їх оператори комутують. Вірно і зворотне твердження: якщо два оператора коммутируют, то фізичні величини А і В одночасно вимірні. Як видно з прикладів 1 і 2, координата у і компонента імпульсу рх можуть бути одночасно точно вимірні, а координата х і компонента імпульсу рх одночасно точно не можуть бути виміряні.
Властивість коммутативности не є транзитивним. Якщо комутує з і, то це не означає, що і комутують між собою.
У квантовій механіці використовується поняття повного набору фізичних величин, які для даної системи можуть мати одночасно певні значення. Наприклад, для вільно рухається частинки - це імпульс і енергія. Очевидно, що повний набір не може включати в себе імпульси і координати частинок, так як вони одночасно не мають певного значення. Для завдання стану квантової системи досить задати лише координати частинки або тільки імпульси, або взагалі будь-яку сукупність величин, які одночасно вимірюються. Число таких величин має дорівнювати числу ступенів свободи системи.
Завдання повного набору однозначно визначає хвильову функцію системи. Повні набори для різних станів різні. В окремому випадку повний набір може складатися тільки з однієї змінної. В такому стані всі змінні, крім однієї, котра утворює повний набір, будуть невизначеними. Як повного набору, однозначно визначає хвильову функцію системи, використовують також квантові числа, які зберігаються в процесі руху. Наприклад, стан електрона в атомі визначається чотирма квантовими числами, відповідним чотирма ступенями свободи електрона. Ці 4 ступеня свободи пов'язані з трьома просторовими координатами і спіном. Для водородоподобних атомів 4 квантових числа, що утворюють повний набір: n - головне квантове число, l - орбітальне квантове число, m - магнітне квантове число, sz - спіновий.
13. Рівняння Шредінгера. Принцип причинності. Стаціонарні стану.
Рівняння Шредінгера пов'язано з гіпотезою де Бройля. Відповідно до гіпотези де Бройля вільної частинки з енергією Е і імпульсом р. рухається вздовж осі х. відповідає плоска хвиля
Продифференцируем (1) за часом:
Продифференцируем (1) двічі по координаті х: і врахуємо, що вільна частинка має енергію, тоді з урахуванням (2):
У загальному випадку вільного руху частинки в просторі:
, рівняння (3) матиме вигляд:
де. Далі Шредінгер припустив, що якщо частка рухається в потенційному полі, то рівняння (4) має бути видозмінене наступним чином:
Рівняння (5) можна назвати рівнянням руху квантової частинки, воно є основним рівнянням нерелятивистской квантової механіки. У квантовій механіці рівняння Шредінгера відіграє таку ж роль, що і рівняння Ньютона в класичній механіці. Задати закон руху частинки в квантовій механіці це значить визначити значення хвильової функції Y в будь-який момент часу t.
Для знаходження єдиного значення функції Y крім рівняння (5) необхідно визначити початкові умови. Початкові умови визначають значення хвильової функції при t = 0. Крім цього, хвильова функція повинна задовольняти умові нормування.
У квантовій механіці поведінка мікрочастинок визначається закономірностями статистичного типу і принцип причинності для мікрочастинок формулюється в такий спосіб.
Нехай відомо стан частинки в початковий момент часу t = 0, тобто відомо значення функції стану. Тоді вирішуючи рівняння Шредінгера (5) можна однозначно визначити її хвильову функцію в наступні моменти часу.
Із змісту хвильової функції випливає, що можна передбачити ймовірності того, що характеризують частку фізичні величини матимуть ту чи іншу значення в будь-який момент часу t> 0. Сформульований таким чином принцип причинності в квантовій механіці має більш загальний характер, ніж лапласовскій детермінізм в класичній механіці.
Якщо відсутні змінні зовнішні поля, що діють на частку, тобто , То U має сенс потенційної енергії і гамильтониан збігається з оператором повної енергії. В цьому випадку хвильову функцію можна представити у вигляді добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від координат, інша - тільки від часу:
Підставивши (6) в (5), отримаємо, розділимо це рівняння на fy:
Ліва частина рівняння (7) залежить тільки від часу, права - тільки від координат. Це можливо тільки в тому випадку, коли обидві частини рівняння рівні однієї і тієї ж постійної величини.
(9) називають стаціонарним рівнянням Шредінгера. Рішення рівняння (8) має вигляд:
Тоді загальний розв'язок рівняння (5) відповідно до подання (6) буде мати вигляд:
Звідси випливає, що щільність ймовірності виявлення частки в різних точках простору дорівнює, т. Е. Не залежить від часу. Тому стану, які описуються функціями виду (11) називаються стаціонарними станами.