1) Хвильовий рівняння. (Рівняння коливань струни, електроколебанія, крутильні коливання валу і ін.) Це найпростіше рівняння гіперболічного типу.
2) Рівняння теплопровідності. (Рівняння Фур'є) Це найпростіше рівняння параболічного типу. Описує процеси теплопровідності, фільтрації рідини і газу, деякі питання теорії ймовірностей.
3) Рівняння Лапласа. Це просте рівняння еліптичного типу. Описує магнітні та електричні поля, гідродинаміку, дифузію і ін.
У цих рівняннях функція u залежить від двох змінних, однак, завдання може бути розширена для випадку трьох змінних:
1) Хвильовий рівняння:
2) Рівняння теплопровідності:
3) Рівняння Лапласа:
Розглянемо докладніше кожне з цих рівнянь.
Рівняння коливань струни.
Визначення. В математичній фізиці струною називається тонка нитка, в якій можливе виникнення напружень тільки в поздовжньому, але не в поперечному напрямку.
Нехай кінці натягнутою струни закріплені в точках х = а і x = b, що виникають в ній напруги позначимо Т. Будемо також вважати, що щільність струни постійна на всьому її протязі.
Припустимо, що в момент t0 = 0 струна виведена зі стану рівноваги і робить малі коливання.
Відхилення струни в кожній точці з координатою х в момент часу t позначимо як