Для обчислювача важливо вміти класифікувати диференціальні рівняння, так як від цього залежить вибір чисельного методу розв'язання. Диференціальні рівняння можна класифікувати за кількома ознаками. Розглянемо найбільш важливі з них.
- Звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в приватних похідних.
Якщо невідома функція в диференціальному рівнянні залежить тільки від однієї змінної. то таке диференціальне рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням.
Якщо невідома функція в диференціальному рівнянні залежить від декількох змінної. то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням в приватних похідних.
Стаціонарне одномірне протягом рідини в трубі описується звичайним диференціальним рівнянням:
тому невідома функція u (x) залежить тільки від однієї змінної х.
Стаціонарне двовимірне протягом рідини в трубі описується диференціальним рівнянням в приватних похідних:
Тут невідома функція u (x, у) залежить від двох змінних: х, у.
Порядок рівняння дорівнює порядку найвищої похідної. що входить в диференціальне рівняння.
Наприклад, рівняння (1) - I порядку, рівняння (2) - II порядку. Рівняння II порядку в найзагальнішому випадку можна представити у вигляді:
Рівняння II порядку класифікуються наступним чином:
а) якщо В 2 -4АС = 0. то рівняння (1.3) є рівняння параболічних;
б) якщо В 2 -4АС<0. то уравнение (1.3) является уравнение эллиптическим ;
с) якщо В 2 -4АС> 0. то рівняння (1.3) є рівняння гіперболічним.
Рівняння II порядку (1.2) є параболічним рівнянням (перевірте це, привівши його до виду (1.3) і знайшовши, чому дорівнює вираз В 2 -4АС).
Прикладом еліптичного рівняння є рівняння Пуассона, що описує стаціонарний розподіл температури від теплового джерела q (x, y) (при q (x, y)> 0 в точці (x, y) тепло виділяється, а при q (x, y)<0 - поглощается):
Як приклад гіперболічного рівняння приведемо рівняння коливань:
Відзначимо, що тип рівняння визначається тільки коефіцієнтами при других похідних і ніяк не залежить ні від коефіцієнтів при перших похідних і при самій функції, ні від вільного члена.
Розглянемо ще одне рівняння з змінними та коефіцієнтами:
Тут А = x, В = 0, C = 1, отже, В 2 -4АС = -4х. Цей приклад ілюструє той факт, що тип рівняння з змінними та коефіцієнтами може змінюватися від точки до точки: при х<0 уравнение (1.6) является эллиптическим, при х=0 уравнение (1.6) является параболическим, при х>0 рівняння (1.6) гіперболічне.
Лінійним називається таке диференціальне рівняння, в яке залежна змінна і все її похідні входять лінійним чином. зокрема, вони не множаться один на одного, не зводяться до рівня, не є аргументами трансцендентних функцій і т.п.
Наприклад, рівняння (1.4) - (1.6) є лінійними, а рівняння (1.1) - (1.2) - нелінійними (поясніть, чому). Рівняння (1.3) є лінійним, якщо коефіцієнти A, B, C, D, E, F не залежить від невідомої функції f і її похідних.
Більшість рівнянь, що описують теплофизические явища і процеси, є нелінійними.
Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо воно не має членів, що містять невідому.
Диференціальне рівняння виду (1.3) є однорідним, якщо його права частина дорівнює нулю для всіх x і y. В іншому випадку воно є неоднорідним.
Наприклад, рівняння (1.5) - однорідне, а рівняння (1.1), (1.2), (1.4), (1.6) - неоднорідні. Рівняння (1.3) є однорідним, якщо G = 0. і неоднорідним, якщо G¹0.
Аналітично можна вирішити, як правило, тільки звичайні лінійні диференціальні рівняння (та й то далеко не всі) і тільки деякі спеціальні види диференціальних рівнянь в приватних похідних. Для всіх інших рівнянь, а особливо для рівнянь і систем рівнянь, що описують реальні завдання, які мають практичне застосування, чисельні методи є практично єдиними методами рішення.