1. Навчитися проводити класифікацію рівнянь в приватних похідних
2. Навчитися приводити до канонічного виду рівняння в приватних похідних.
За допомогою заміни змінних рівняння другого порядку
приведемо до одного з простих рівнянь. Вважаючи, що коефіцієнт введемо нові незалежні змінні де і поки довільні, але різні (інакше і не будуть взаємно незалежні функції) числа. оскільки
то має місце відповідність
Помножимо ці другі похідні відповідно на а, 2b і з і потім їх складемо. Тоді ліва частина рівняння (2.1) має вигляд:
Розглянемо тепер допоміжне квадратне рівняння Його корінням є Залежно від значень дискримінанту можливі три випадки:
1) якщо в даній області то рівняння (2.1) належить до гіперболічного типу;
2) якщо то рівняння (2.1) параболічного типу;
3) якщо то рівняння (2.1) належить до еліптичному типу.
Диференціальне рівняння (2.2) називають рівнянням характеристик рівняння
Після з'ясування типу диференціального рівняння його приводять до канонічного виду за допомогою перетворення незалежних змінних ()
Щоб знайти перетворення (2.3) необхідно скласти рівняння характеристик (2.2), яке може бути представлене в такий спосіб:
В результаті рішення рівнянь (2.5) отримуємо загальні інтеграли, ліві частини яких дають вирази (2.4), що призводить рівняння (2.3) до канонічного вигляду.
Рішення рівняння характеристик (2.2) залежить від значень дискримінанту.
У зв'язку з цим формули перетворення (2.4) для кожного з трьох типів рівняння знаходяться наступним чином:
1. - гіперболічний тип. Рішення системи (2.5) дає два дійсних загальних інтеграла:
Прирівнюючи ліві частини загальних інтегралів (2.6) новим незалежним змінним. . отримуємо формули перетворення:
2. - параболічний тип. Система (2.5) зводиться до рівняння:. рішення якого дає один дійсний загальний інтеграл:
Формули перетворення (2.4) в цьому випадку записуються наступним чином:
де - будь-яка функція незалежна від (повинно виконуватися умова:)
Примітка. вибирають або
3. - еліптичний тип. Рішення системи (2.5) дає два комплексно сполучених загальних інтеграла:
Формули перетворення можуть бути отримані в такий спосіб:
Виконуючи перехід до нових змінних, невідому функцію вважаємо складною функцією від. . тоді
Підставивши значення похідних в рівняння (2.3) отримуємо канонічний вид даного рівняння.
Канонічний вид рівняння гіперболічного типу має вигляд:
Канонічний вид рівняння параболічного типу має вигляд:
- старшої похідної може бути -.
Канонічний вид рівняння еліптичного типу має вигляд:
Приклад 1. Привести до канонічного вигляду рівняння
Розв'язання. Тут. . . отже, Рівняння Належить до гіперболічного типу. Складемо Рівняння характеристик. У цьом випадка Рівняння характеристик розпадається на два звичайна диференціальних Рівняння первого порядку, что запишуть у діференціалах:
Загальні інтегралі ціх рівнянь знаходяться безпосереднім інтегруванням и могут буті запісані в такий способ:
Отже, формули превращение незалежних перемінніх, что приводять Початкове Рівняння до канонічного виду, будут:
Звідки Перетворімо Початкове Рівняння до змінніх. . Для цього обчіслімо:. . . . .