Кінцеві різниці різних порядків
y = f (x) позначимо
Знайдемо приріст функції
Називається 1-й кінцевої різницею, n-я кінцева різниця обчислюється за формулою:
Нехай f (х) є многочлен n-го ступеня
Властивості кінцевих різниць:
Висловимо кінцеві різниці через функції
Нехай функція y = f (x) має n-ю похідну на відрізку, тоді можна записати, чтоn-я похідна функції
Таблиця кінцевих різниць
Доводиться розглядати функція задану таблично де
Кінцеві різниці послідовності yi визначається співвідношенням
Згадаймо біном Ньютона, можна показати що n-я кінцева різниця yi може бути представлена як сума
Дані кінцеві різниці зручно розташовувати вигляді таблиць:
Найчастіше на практиці використовується горизонтальна таблиця вона має вигляд:
Постановка задач апроксимації функції, загальної задачі інтерполяції, найпростішої завдання інтерполяції.
Узагальненої n ступенем числа х називається твір n співмножників першою з яких є х, а кожен наступний співмножник. на h менше попереднього.
Х [n] - позначення.
Знайдемо кінцеву різницю для узагальненої ступеня.
Постановка завдання інтерполяції
Найпростіші задачі інтерполяції полягають в наступному:
Ці точки називаються вузлами інтерполяції, для цих вузлів інтерполяції відомо значення деяких функцій y = f (x)
Функція F (x) називається інтерполюючої.
Аналітичний вираз f (x) дуже складне або невідоме.
Геометрично це означає, що треба знайти y = F (x) з деякими додатковими властивостями зокрема F (x) проходить через точку (xi, yi), yi = f (xi) i = 1, n
Завдання в такій постановці може мати безліч рішень.
Завдання стає однозначно розв'язуваної, якщо в якості опції y = f (x) розглядати поліном y = Pn (x) ступеня не вище n, яка задовольняє умові Pn (xi) = yi i = 0, n.
n- кількість точок. Отримана інтерполююча функція часто використовується для наближеного обчислення значень функції y = f (x) в точках не збігаються з вузлами інтерполяції
Така операція називається інтерполяцією функції f (x).
Розрізняють інтерполювання у вузькому сенсі і в широкому. Дана операція носить назву екстраполюванні.
Перша інтерполяціонная формула Ньютона (загальна формула і формули для лінійного і квадратичного інтерполювання).
Нехай y = f (x) задана своїми точками yi = f (xi) i = 0, n, причому xi = x0 + ih. h - крок інтерполяції.
Розглянемо многочлен ступеня y = Pn (x) володіє умовою Pn (xi) = yi (1)
Умова (1) рівносильно рівності:
Обчислюючи 1-ю кінцеву різницю полінома Pn (x) (див (2)) і вважаючи, що x = x0 ми отримуємо, що
Знаходячи другу кінцеву різницю і полога що x = x0
Підставляючи в рівність (3) знаючи коефіцієнт ai. отримаємо:
- перший поліном Ньютона.
Зазвичай перший поліном Ньютона записується в більш зручному вигляді:
Формула (4) незручна для практичного застосування. Тому був введений другий інтерполяційний поліном Ньютона: