Визначення та нотація
Якщо задані дві групи (G. *) і (H. ∘), ізоморфізм груп з (G. *) в (H. ∘) - це биективное гомоморфізм груп з G в H. Іншими словами, ізоморфізм груп - це биективное функція f . G → H. така, що для будь-яких u і v з G виконується
Дві групи (G. *) і (H. ∘) ізоморфні, якщо існує ізоморфізм з однієї в іншу. Це записується в такий спосіб:
Часто використовується коротша і проста запис. Якщо групові операції не призводять до двозначності, їх опускають:
Іноді навіть пишуть просто G = H. Чи не призведе така запис до плутанини і двозначності, залежить від контексту. Наприклад, вживання знака одно не дуже підходить в разі, коли дві групи є підгрупами однієї і тієї ж групи. Дивіться приклади нижче.
Якщо задана група (G. *), безліч H і біекція f. G → H. ми можемо зробити H групою (H. ∘), визначивши
Інтуїтивно дві групи ізоморфні, якщо для будь-якого елемента g групи G існує елемент h групи H. який «веде себе таким же чином», як і g (взаємодіє з іншими елементами групи таким же чином, що і g). Наприклад, якщо g породжує всю групу, те ж саме робить і h. Звідси, зокрема, випливає, що між G і H є биективное відповідність. Таким чином, визначення ізоморфізму цілком природно висловлює властивість груп бути еквівалентними.
Для деяких груп можна довести ізоморфізм, виходячи з аксіоми вибору. але такий доказ не показує, яким чином сконструювати конкретний ізоморфізм. приклади:
циклічні групи
Якщо (G. *) є нескінченною циклічної групою. то (G. *) ізоморфна цілих числах (по складанню). З алгебраїчної точки зору це означає, що безліч всіх цілих чисел (по складанню) є єдиною нескінченної циклічної групою.
Всі кінцеві циклічні групи заданого порядку ізоморфні (Z n. +) _, +)>.
З визначення випливає, що будь-який ізоморфізм f. G → H відображає нейтральний елемент G в нейтральний елемент H,
звідки випливає, що зворотні відображаються в зворотні,
і n -е ступеня в n -е ступеня,
для всіх u з G. а також що зворотне відображення f - 1. H → G: H \ rightarrow G> теж є изоморфизмом.
Ставлення "ізоморфно" задовольняє всім аксіомам відносини еквівалентності. Якщо f є изоморфизмом двох груп G і H. то всі твердження, вірні для G. пов'язані зі структурою групи, можна перенести за допомогою f на такі ж твердження в H. і навпаки.
Ізоморфізм з групи (G. *) в себе називається автоморфизмом цієї групи. Так як ізомофізм f. G → G біектівен,
Автоморфізм завжди відображає нейтральний елемент в себе. Образ класу спряженості завжди є класом спряженості (тим же самим або іншим). Образ елемента має той же порядок, що і сам елемент.
Композиція двох автоморфізмів знову є автоморфизмом, і ця операція з безліччю всіх автоморфізмів групи G. позначається Aut (G), утворює групу, групу автоморфізмів G.
Для всіх абелевих груп є, щонайменше, автоморфизм, що переводить елементи групи в їх зворотні. Однак в групах, де всі елементи рівні своєю зворотною, цей автоморфизм є тривіальним, наприклад, в четверний групі Клейна (для цієї групи все перестановки трьох, які не є нейтральними, елементів групи є автоморфізм, так що група ізоморфізмів ізоморфна S 3 і Dih3).
У Z p для простого числа p. один, який не є нейтральним, елемент може бути замінений іншим, з відповідними змінами в інших елементах. Група автоморфізмів ізоморфна Z p - 1. Наприклад, для n = 7, множення всіх елементів Z7 на 3 (по модулю 7), є автоморфизмом близько 6 в групі автоморфізмів, оскільки 3 6 ≡ 1 (по модулю 7), а менші ступені 1 не дають. Таким чином, цей автоморфизм породжує Z6. Є ще один автоморфизм з цією властивістю - множення всіх елементів Z7 на 5 (по модулю 7). Таким чином, ці два автоморфізм відповідають елементам 1 і 5 Z6. в цьому порядку або зворотному.
Група автоморфізмів Z6 ізоморфна Z2. оскільки тільки ці два елементи 1 і 5 породжують Z6.
Група автоморфізмів Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 має порядок 168, що можна показати наступним чином. Всі 7 елементів, які не є нейтральними, грають одну й ту ж роль, так що ми можемо вибрати, який грає роль (1,0,0). Будь-який з решти шести може бути обраний для ролі (0,1,0). Ці два визначають, що відповідає (1,1,0). (0,0,1) ми можемо вибрати з чотирьох, і цей вибір визначає залишилися елементи. Таким чином, отримаємо 7 × 6 × 4 = 168 автоморфізмів. Вони відповідають автоморфізм площині Фано. 7 точок якої відповідають 7 елементів, які не є нейтральними. Прямі, що з'єднують три точки, відповідають операції групи: a. b. і c на прямий означають a + b = c. a + c = b. і b + c = a. Дивіться також Повна лінійна група над кінцевим полем.
Для абелевих груп все автоморфізм, за винятком тривіального, називаються зовнішніми автоморфізм [en].
Неабелева групи мають нетривіальні внутрішні автоморфізм. і, можливо, зовнішні автоморфізм.
Herstein, I. N. Topics in Algebra. - 2 edition. - Wiley, 1975. - ISBN 0-471-01090-1.
- ↑ Ash A Consequence of the Axiom of Choice // Journal of the Australian Mathematical Society. - 1973. - Т. 19. - С. 306-308.