Гранної поверхнею називається поверхня, утворена переміщенням прямолінійної твірної по ламаній направляючої. Гранні поверхні можна поділити на два види: пірамідальні і прізматі-
Частина простору, обмежена з усіх боків поверхнею, називається тілом.
Багатогранником називається тіло, обмежене плоскими багатокутниками. Розгляд багатогранників обмежимо розглядом призм і пірамід.
Призмою називається багатогранник, у якого однакові взаємно паралельні грані - підстави, а решта - бічні грані - паралелограми. Якщо ребра бокових граней перпендикулярні основі, то призму називають прямою. Для завдання призми досить задати одне її основу і бічне ребро.
Піраміда являє собою багатогранник, у якого одна грань - довільний багатокутник, приймати за основу, а інші грані (бічні) - трикутники із загальною вершиною, званої вершиною піраміди.
Перетин багатогранників площиною. У перетині гранних поверхно-
стей площинами виходять багатокутники, вершини яких визначаються як точки перетину ребер гранних поверхонь з січною площиною.
Багатокутник перетину може бути знайдений двома шляхами:
- вершини багатокутника знаходяться як точки перетину прямих (ребер) з січною площиною;
- боку багатокутника знаходяться як лінії перетину площин (граней) багатогранника з січною площиною.
Як приклад побудуємо перетин призми фронтальнопроецірующей площиною Q (рис. 1.80).
Січна площина перпендикулярно фронтальній площині проекцій, отже, всі лінії, що лежать в цій площині, в тому числі і фігура перетину на фронтальній проекції, співпадуть з фронтальним слідом Q v
площині Q. Таким чином, фронтальна проекція фігури перерізу 1/2/3 / Визначається при перетині фронтальних проекцій ребер призми зі слідом Qv. Горизонтальна проекція фігури перерізу збігається з горизонтальною проекцією призми. Профільна проекція фігури перерізу знаходиться по приладдя проекцій точок 1,2,3 відповідним ребрах призми. Якщо вважати що площина Q відсікає верх призми, то фігура перетину на
профільної площини видно, а якщо немає, то лінія 2 // 3 // відіб'ється невидимою.
Призма з вирізом. Як приклад побудови перетину многогранника декількома площинами розглянемо побудову призми з вирізом, утвореним трикутною призмою.
На фронтальній проекції відзначаємо проекції точок зустрічі ребра B заданої призми з гранями призми вирізу: 3 / і 8 /. і точки перетину ребер призми вирізу з гранями заданого тіла: 1/2/4/5/6/7 /. знаходимо горизон-
фундаментальні проекції зазначених точок. Всі вони знаходяться на горизонтальній проекції заданої призми. По двох отриманим проекція точок знаходимо їх профільні проекції. З урахуванням видимості з'єднуємо точки, що належать відповідним сторонам заданої призми. В межі AB. точки 3,2,8, в межі BC: точки 3,5,7,8 і в межі AC. 1,4,6,1.
Піраміда з вирізом. На малюнку 1.83 показано побудову піраміди з вирізом (як результат перетину піраміди декількома проектується площинами, що утворили призматичний виріз). Позначаємо на фронтальній проекції точки, одночасно належать заданій піраміді і призматичним вирізу. За належністю точок ребрам заданої піраміди знаходимо їх горизонтальні і профільні проекції. Точки (3) перетину ребра призматичного вирізу з гранями заданої піраміди можна знайти двома способами. Перший спосіб полягає в проведенні через точки вирізу площині S паралельної підставі (слід якої позначається на комплексному кресленні). У перетині піраміди цієї площиною
утворюється трикутник подібний основи, що проходить через точку K. Даному трикутнику належать точки 3,1,6,7,5,4,3. Можна також знайти точки на поверхні піраміди проведенням через них прямих, що пов'язують їх з вершиною піраміди і подальшим побудовою проведених прямих на горизонтальній площині проекцій і знаходженням на них шуканих точок. Отримані точки з'єднують з урахуванням видимості в необхідній послідовності по відповідних граней заданої піраміди (щоб дві точки належали одній січної площини і однієї грані піраміди).
1.18 Тіла обертання
Розглянемо деякі з численних поверхонь обертання.
Поверхні, утворені обертанням прямої лінії. До таких від-
носяться циліндр і конус.
Циліндр обертання - поверхня, отримана обертанням прямої навколо паралельної їй осі і обмежена двома взаємно паралельними площинами.
Конус обертання - поверхня, утворена обертанням прямої (утворює) навколо пересічної з нею віссю (напрямна).
Прикладом поверхонь, утворених обертанням окружності навколо нерухомої осі є сфера.
Сфера - поверхня, отримана обертанням окружності навколо її діаметра.
Перетин циліндра площиною. При перетині циліндра враще-
ня площиною, паралельної осі обертання, в перерізі виходить пара прямих (утворюють). Якщо січна площина перпендикулярна до осі обертання, в перерізі виходить коло. У загальному випадку, коли січна площина нахилена до осі обертання циліндра, в перерізі виходить еліпс.
На малюнку 1.84 показаний приклад побудови проекцій лінії перетину циліндра фронтально проецирующей площиною Q, коли в перерізі виходить еліпс.
Фронтальна проекція фігури перерізу в цьому випадку збігається з фронтальним слідом площині, а горизонтальна - з горизонтальною проекцією поверхні циліндра - колом. Профільна проекція будується по двох наявних проекція - горизонтальній і фронтальній, заміряючи ігрековие координати точок щодо осі циліндра і відкладаючи їх на проекційних лініях зв'язку відповідних точок.
Перетин конуса площиною. Залежно від положення січної площини в перетині конуса обертання можуть вийти різні лінії, що називаються лініями конічних перетинів.
Якщо січна площина проходить через вершину конуса перпендикулярно його основи, то в перерізі виходить пара прямих - утворюють
(Трикутник - рис. 1.85а). В результаті перетину конуса площиною, перпендикулярної до осі конуса, виходить коло (рис. 185Б). Якщо січна площина нахилена до осі обертання конуса і не проходить через її вершину, в перерізі конуса можуть вийти еліпс (січна площина перетинає всі твірні конуса - рис. 1.85В). Парабола утворюється, якщо січна площина паралельна одній з утворюючих конуса (рис. 1.85г). Гіпербола утворюється в разі, якщо січна площина паралельна двом утворюючим конуса в залежності від кута нахилу січної площини до основи конуса (рис. 1.85д).
Відомо, що точка належить поверхні, якщо вона належить будь-якої лінії цієї поверхні. Для конуса графічно найбільш простими лініями є утворюють і окружності. Отже, якщо за умовами задачі потрібно знайти горизонтальні проекції точок, що належать поверхні конуса, то потрібно через точки провести одну з цих ліній.
На малюнку 1.86 дан приклад побудови проекцій лінії перетину конуса фронтально проецирующей площиною, коли в перерізі виходить еліпс.
Фігура перерізу на фронтально площині збігається зі слідом січної площини. Позначимо характерні точки (точки, що належать фронтальному нарису конуса - 1, 6 і 4, 5 - точки, що належать профільному нарису конуса) і кілька проміжних (чим більше буде відзначено таких точок, тим точніше вийде фігура перетину - еліпс). Горизонтальні і профільні проекції точок 1,4,5,6, знаходяться без додаткових побудов, так як вони належать відповідним нарисів конуса. Для точок 4 і 5 знаходяться їх профільні проекції з умови належності їх профільному нарису конуса, а потім, вимірявши ігрековую координату цих точок від осі конуса, відзначаються їх горизонтальні проекції. Для знаходження проекцій проміжних точок можна скористатися методом проведення січних площин, паралельних основи конуса або проведенням через відмічені точки утворюють конуса з подальшим нахожде-
ням горизонтальних проекцій цих утворюють і знаходженням на них відповідних точок. Далі за двома отриманими проекція будуються третю проекції зазначених точок. Отримані проекції точок з'єднуються плавною кривою з урахуванням видимості (на прикладі верхня частина конуса відсічена площиною Q і тому вся фігура перетину на профільній площині видно). Якщо такого відсікання не відбувається, то на профільній проекції частина кривої перетину 465 відіб'ється невидимою лінією.
Конус з вирізом. На малюнку 1.87 показаний конус, в якому виконаний виріз, освічений трьома площинами приватного положення, що утворюють призматичний виріз. Фронтальна проекція фігури перерізу збігається з нарисом призматичного вирізу. Для знаходження горизонтально і профільної проекцій вирізу відзначаємо ряд необхідних точок. Необхідно відзначити характерні точки, що належать нарисів конуса, точки перегину площин вирізу і ряд проміжних для точності побудови певних кривих.
В даному випадку відзначаються точки 5,6 і 11,12. належать профільному нарису конуса; точки 1, 2, 3, 4, 9,10, що є ребрами (лінії перегину площин вирізу) призматичного вирізу. Для більш точного побудови частини параболи необхідно відзначити ряд точок (чим їх буде
більше, тим точніше вийде крива) знаходяться між точками 3, 9 і 4, 10 (в даному випадку це точки 7 і 8). Для побудови частини вирізу, в результаті якого утворюється частина гіперболи, відзначаються точки, що знаходяться між точками 1 і 3, 2 і 4 (в даному випадку це точки 13 і 14). Їх також необхідно взяти достатню кількість.
Побудувавши горизонтальні і профільні проекції зазначених точок, фігури проекцій вирізу з'єднуються з урахуванням видимості. На горизонтальній площині лінії входу і виходу призматичного вирізу конуса видно. На профільної проекції видимість визначається по граничним точкам 5, 6 і 11, 12. Лінія 5, 7, 9, 11 і 6, 8, 10, 12 на профільній проекції, хоч я знаю, але, з огляду на форму вирізу, шматки лінії 5, 7 і 6, 8 до ліній 3, 13 і 4, 14 буде видно.
Перетин кулі площиною. Якщо куля перетинати площиною, то в перерізі завжди виходить коло. Ця окружність може проектуватися:
- в пряму, якщо січна площина перпендикулярна до площини проекцій;
- в коло з радіусом, рівним відстані від осі обертання кулі до нарису, якщо січна площина паралельна будь-якої площини проекцій;
- в еліпс. якщо січна площина не паралельна жодної з площин проекцій.
Щоб побудувати проекції точки, що лежить на поверхні кулі, необхідно через неї провести січну площину, паралельну какойлібо площині проекцій, і побудувати окружність, на якій знаходиться ця точка
На малюнку 1.88 показано побудову проекцій лінії перетину кулі фронтально проецирующей площину.
Побудова починаємо з визначення характерних точок. Точки 1 і 2 знаходяться на фронтальному нарисі кулі (головному меридіані). Ці точки - кінці малої осі еліпса, а також найвища і найнижча точки. Їх горизонтальні і профільні проекції знаходяться на відповідних колах кулі, які на горизонтальній і профільної площинах
збігаються з осями. Точки 7 і 8 знаходяться на профільному нарисі кулі (профільному меридіані) і служать для визначення видимості на профільній площині проекцій. Горизонтальні проекції цих точок знаходяться по фронтальним і профільним. Точки 5 і 6 перебувають на горизонтальному нарисі кулі (екваторі) і служать для визначення видимості на горизонтальній площині проекцій. Профільні проекції цих точок знаходимо по горизонтальних і фронтальним проекція. Для точного побудови лінії перетину необхідно знайти кілька додаткових точок. Для їх побудови використовуються допоміжні січні площини (наприклад, площини горизонтального рівня T і P), які в перетині дають окружність на горизонтальній площині. Отримані точки з'єднують плавною кривою з урахуванням їх видимості.
Куля з вирізом. На малюнку 1.89 показано побудову проекцій кулі з вирізом, утвореним трьома площинами приватного положення, що утворюють призматичний виріз.
Для побудови проекцій вирізу відзначаємо необхідні точки. Це точки, що належать нарисів кулі, точки перегину площин вирізу, а також ряд проміжних для більш точного побудови ліній вирізу.