На даній сторінці ми розглянемо методику розкриття невизначеності виду $ \ frac $. Розкриттю невизначеності $ \ frac $ присвячена друга частина цієї теми.
Розкриття невизначеності $ \ frac $.
Схема рішення стандартних прикладів такого типу зазвичай складається з двох кроків:
- Розкладаємо вираз в чисельнику або знаменнику (або і там і там) на множники;
- Скорочуємо множники, що призводять до невизначеності, і обчислюємо шукане значення межі.
Для розкладання на множники можуть бути корисні кілька формул, які я запишу нижче:
Крім того, припускаємо, що читач знає формули для вирішення квадратних рівнянь. Якщо $ x_1 $ і $ x_2 $ - коріння квадратного тричлена $ ax ^ 2 + bx + c $, то розкласти його на множники можна за такою формулою:
Зауважу, що застосування формул (1) - (5) найчастіше буває важкувато, тому раціональніше використовувати схему Горнера. У прикладах, до яких ми зараз перейдемо, все вищевикладене буде пояснено детально.
то в заданому межі ми маємо невизначеність виду $ \ frac $. Мета подальших перетворень полягає в тому, щоб розкласти на множники чисельник і знаменник даної дробу. Для цього є два способи: використання формул (1) - (5) або застосування схеми Горнера.
Перший спосіб розкладання на множники
Застосуємо формулу №3. щоб розкласти на множники вираз $ x ^ 3 + 8 $. Підставляючи в зазначену формулу $ a = x $ і $ b = 2 $, матимемо:
Отже, $ x ^ 3 + 8 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 4) $. Перейдемо до розкладання на множники знаменника $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $, застосовуючи для цього формулу №5. Щоб застосувати цю формулу, спочатку потрібно вирішити квадратне уравенную $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = 0 $:
Трохи спростимо вираз $ 3 \ cdot (x + 2) \ left (x + \ frac \ right) $. Внесемо множник $ 3 $ в другу дужку:
$$ 3 \ cdot (x + 2) \ left (x + \ frac \ right) = (x + 2) \ cdot \ left (3 \ cdot x + 3 \ cdot \ frac \ right) = (x + 2) ( 3x + 4). $$
Отже, для знаменника маємо: $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = (x + 2) (3x + 4) $. Повернемося до розглянутого межі і використовуємо отримані результати:
Подальше рішення полягає в скороченні дужки $ (x + 2) $, яка і викликала невизначеність $ \ frac $. Після скорочення на цю дужку залишиться лише записати відповідь:
Другий спосіб розкладання на множники
Використовуємо схему Горнера. Так як при $ x = -2 $ маємо $ x ^ 3 + 8 = -8 + 8 = 0 $ і $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = 12-20 + 8 = 0 $, то $ (- 2) $ - корінь багаточленів $ x ^ 3 + 8 $ і $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $. Отже, ці многочлени діляться без остачі на дужку $ (x - (- 2)) = (x + 2) $. Власне кажучи, саме ця дужка і викликає невизначеність $ \ frac $ в розглянутому межі. Розділимо $ x ^ 3 + 8 $ на $ x + 2 $ із застосуванням схеми Горнера.
$$ \ begin 1 0 0 8 \\ \ hline -2 1 -2 4 0 \ end \\ x ^ 3 + 8 = (x - (- 2)) (1 \ cdot x ^ 2-2 \ cdot x + 4) = (x + 2) (x ^ 2-2x + 4). $$
Тепер використовуємо схему Горнера для ділення многочлена $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $ на $ x + 2 $:
$$ \ begin 3 10 8 \\ \ hline -2 3 4 0 \ end \\ 3x ^ 2 + 10x + 8 = (x - (- 2)) (3 \ cdot x + 4) = (x + 2) (3x + 4). $$
Використовуючи отримані розкладання на множники, отримуємо:
В даном випадку для чисельника і знаменника маємо:
\ begin \ Lim_ (2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x + 28) = 2 \ cdot4 ^ 4-7 \ cdot 4 ^ 3-4 \ cdot 4 ^ 2-7 \ cdot 4 + 28 = 0; \ \ \ Lim_ (5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48) = 5 \ cdot 4 ^ 3-19 \ cdot 4 ^ 2 + 8 \ cdot 4-48 = 0. \ end
Так як при $ x \ to 4 $ чисельник і знаменник одночасно прагнуть до нуля, то ми маємо справу з невизначеністю виду $ \ frac $. Щоб розкрити ону невизначеність, потрібно розкласти на множники многочлени в чисельнику і знаменнику. Для цієї мети можна застосувати схему Горнера. Розділимо многочлен $ 2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x + 28 $ на $ x-4 $:
$$ \ begin 2 -7 -4 -7 28 \\ \ hline 4 2 1 0 -7 0 \ end \\ 2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x + 28 = (x-4) (2 \ cdot x ^ 3 + 1 \ cdot x ^ 2 + 0 \ cdot x-7) = ( x-4) (2x ^ 3 + x ^ 2-7). $$
Тепер розділимо $ 5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48 $ на $ x-4 $:
$$ \ begin 5 -19 8 -48 \\ \ hline 4 5 1 12 0 \ end \\ 5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48 = (x-4) (5 \ cdot x ^ 2 + 1 \ cdot x + 12) = (x-4) (5x ^ 2 + x + 12). $$
Повертаючись до вихідного межі, будемо мати:
Можлива ситуація, в якій схему Горнера доведеться застосувати кілька разів. Подібний випадок розглянемо в прикладі №3.
В даном випадку для чисельника і знаменника маємо:
Так як при $ x \ to 1 $ чисельник і знаменник одночасно прагнуть до нуля, то ми маємо справу з невизначеністю виду $ \ frac $. Щоб розкрити ону невизначеність, потрібно розкласти на множники многочлени в чисельнику і знаменнику. Для цієї мети можна застосувати схему Горнера. Схему Горнера тут доведеться застосовувати кілька разів. Почнемо з многочлена $ 2x ^ 5-5x ^ 4 + 7x ^ 3-11x ^ 2 + 11x-4 $, який будемо ділити на біном $ x-1 $:
$$ \ begin 2 -5 7 -11 11 -4 \\ \ hline 1 2 -3 4 -7 4 0 \\ \ hline 1 2 -1 3 -4 0 \\ \ hline 1 2 1 4 0 \ End \\ 2x ^ 5-5x ^ 4 + 7x ^ 3-11x ^ 2 + 11x-4 = (x-1) ^ 3 \ cdot (2x ^ 2 + x + 4). $$
Застосуємо схему Горнера для ділення многочлена $ 9x ^ 4-18x ^ 3 + 11x ^ 2-4x + 2 $ на біном $ x-1 $:
$$ \ begin 9 -18 11 -4 2 \\ \ hline 1 9 -9 2 -2 0 \\ \ hline 1 9 0 2 0 \ End \\ 9x ^ 4-18x ^ 3 + 11x ^ 2-4x + 2 = (x-1) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2 + 2). $$
Повертаючись до вихідного межі, будемо мати: