Диференціальне числення значно полегшує завдання розкриття невизначеностей при обчисленні меж. Простий прийом розкриття невизначеностей виду і дає правило Лопіталя. сутність якого полягає в наступній теоремі.
Теорема. Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій при x → x0 дорівнює межі відносини їх похідних, якщо останній існує, тобто (K може бути кінцевим і нескінченним).
Інший вид невизначеність 0/0 можна розкрити іншим методом.
Правило Лопіталя можна застосовувати неодноразово, якщо відношення похідних знову дає невизначеність або.
Приклад №3. Знайти.
Рішення.
.
Зауваження 1. Застосовуючи неодноразово правило Лопіталя, потрібно кожен раз перевіряти, чи не розкрилася чи вже невизначеність, інакше можна отримати невірний результат.
Зауваження 2. У теоремі вимога існування є істотним, тому що якщо він не існує, то це не означає, що теж не існує. Наприклад, - не існує, однак.
Невизначеності виду 0 · ∞ і ∞-∞ за допомогою тотожних перетворень зводяться до невизначеностей 0/0 або ∞ / ∞ і потім розкриваються за правилом Лопіталя.
Невизначеність 0 · ∞ виникає, якщо потрібно знайти за умови. В результаті перетворення (або) виходить невизначеність 0/0 (або ∞ / ∞).
Якщо потрібно знайти, причому і, то, представивши різниця f (x) - g (x) =, отримаємо невизначеність 0/0. Невизначеності виду 0 0. 1 ∞. ∞ 0 шляхом логарифмування виразу [f (x)] g (x) зводяться до невизначеності 0 · ∞, розглянутої вище.
Приклад №4. Знайти.
Рішення. Тут маємо невизначеність 0 · ∞. Перепишемо цей вислів у вигляді.
Тепер можна застосувати правило Лопіталя:
.
Приклад №6. Знайти.
Рішення. Цей вираз являє собою невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо його до іншого виду:
Приклад №8. Знайти.
Рішення. Тут невизначеність виду 0 0. Позначимо y = x x і прологарифмируем: lny = x · lnx, звідки в силу безперервності логарифмічною функції (приклад 4). Отже,, звідки, тобто .
Приклад №9. Знайти.
Рішення. Маємо невизначеність 1 ∞. яку можна було б розкрити за допомогою другого чудового краю, однак ми ілюструємо інший прийом. Позначимо, тоді
.
Отримаємо, тоді за визначенням логарифма.
Приклад №10. Знайти межа, використовуючи правило Лопіталя-Бернуллі:.
Рішення.
Функція f (x) = ln (x) диференційована на всій області визначення, функція # 966; (x) = x 3 дифференцируема для будь-якого x з R, при x → ∞; x 3 → ∞. Маємо невизначеність. Застосовуємо правило Лопіталя-Бернуллі:
.
Приклад №11. Знайти межа, використовуючи правило Лопіталя-Бернуллі:
.
Рішення. логарифмуючи функцію
,
отримаємо:
.
Функції ln (x) і ln (e x -1) мають похідні на (0; + ∞). Застосовуємо правило Лопіталя-Бернуллі для невизначеності:
.
Обчисліть межа, застосовуючи правило Лопіталя.
Рішення. Правило Лопіталя дозволяє розкривати невизначеність 0/0 і ∞ / ∞.
Для нашого прикладу:
Застосуємо правило Лопіталя, яке свідчить, що межа відношення функцій дорівнює границі відношення їх похідних.
Для нашого прикладу:
f (x) = π-2arctg (x)
g (x) = 1 / x
Знаходимо першу похідну
g '(x) = -1 / x 2
f '(x) = 2x
g '(x) = 2x
Відповідь: 2